CHAPTER 6

IIR 数字滤波器设计

IIR Digital Filter Design

课　程数字信号处理（DSP）

学　期2026 年秋季学期

32 学时24 智能医学

学习要求

本章要掌握什么

（1）掌握三阶以下巴特沃思模拟低通滤波器的设计方法；
（2）掌握冲激响应不变法；
（3）掌握双线性变换法；
（4）理解频带变换原理，掌握低通—低通、低通—高通变换方法。

💡 IIR 设计的核心路线：成熟的模拟滤波器（巴特沃斯/切比雪夫/椭圆）→ 变换成数字滤波器。关键是"变换"怎么做得不失真。

知识地图

本章知识结构

设计步骤与方法

定指标 → 系统逼近 → 有限精度实现
零极点累试 / 模拟原型转换 / 计算机优化

6.1 模拟低通滤波器

巴特沃斯（最大平坦）· 切比雪夫（等波纹）· 椭圆（最陡）

6.2 冲激响应不变法

h(n) = T·\(h_{a}\)(nT)　频率线性但有混叠

6.3 双线性变换法

s = c(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)　无混叠但频率非线性（需预畸变）

6.4 频带变换

由低通原型变换出高通、带通、带阻——可在模拟域做，也可在数字域做。

设计步骤

数字滤波器的一般设计步骤

三步走

① 根据实际确定滤波器性能指标（幅度特性、截止频率等）；
② 用一个稳定的因果系统逼近这些指标；
③ 用有限精度运算实现数字滤波器（运算结构、误差分析、字长等）。

通带容限与阻带容限

通带：\(\omega\) ≤ \(\omega_{p}\) 时，1 − \(\delta_{p}\) ≤ |\(H\)(\(e^{j\omega}\))| ≤ 1 阻带：\(\omega_{s}\) ≤ \(\omega\) ≤ π 时，|\(H\)(\(e^{j\omega}\))| ≤ \(\delta_{s}\)

δ\(_{p}\) 为通带容限，δ\(_{s}\) 为阻带容限；ω\(_{p}\) 通带截止、ω\(_{s}\) 阻带截止，之间为过渡带。

^jω)| ω

设计方法

IIR 数字滤波器的常用设计方法

三种思路

（1）零、极点累试法

直接在 z 平面上试放零极点，观察频响。简单直观，但只适合低阶。

（2）模拟原型转换

最常用：先设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器。

（3）计算机优化设计

按最优化准则（最小均方误差等）由计算机迭代求解。

模拟 → 数字的两种常用方法

（1）冲激响应不变变换法

时域抽样：h(n) = T·\(h_{a}\)(nT)。频率线性映射。

（2）双线性变换法

代数映射：s = c(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)。无混叠。

6.1

巴特沃斯幅度平方函数

模拟巴特沃斯低通滤波器

\( |H_{a}(j\Omega)|^{2} = \frac{1}{1 + (\Omega/\Omega_{c})^{2N}} \)

N 为滤波器阶数，Ω\(_{c}\) 为 3 dB 截止频率。

为什么叫"最大平坦"？

在 Ω = 0 处，|\(H_{a}\)(jΩ)|\(^{2}\) 的前 (2N−1) 阶导数均为 0，因此通带内有最平坦的幅度特性。

|\(H_{a}\)(jΩ)| 随 Ω 单调下降，无波纹 —— 这是它最显著的优点。

▸ 3 dB 点

Ω = Ω\(_{c}\) 时：|\(H_{a}\)|\(^{2}\) = 1/2　⇒　|\(H_{a}\)| = 1/√2 ≈ 0.707　⇒　20lg(0.707) = −3 dB

6.1

阶数 N 的确定方法

由衰减指标求 N

设在 Ω\(_{p}\) 处通带衰减 ≤ \(A_{p}\)（dB），在 Ω\(_{s}\) 处阻带衰减 ≥ \(A_{s}\)（dB）：

\(A_{p}\) = 10lg[1+(\(\Omega_{p}\)/\(\Omega_{c}\))\(^{2N}\)]　，　\(A_{s}\) = 10lg[1+(\(\Omega_{s}\)/\(\Omega_{c}\))\(^{2N}\)]

两式联立消去 Ω\(_{c}\)，解出 N：

\( N \ge \frac{lg \sum[(10^{0.1A_{s}}-1) / (10^{0.1A_{p}}-1)]}{lg (\Omega_{s}/\Omega_{p})} \)

N 取向上取整的最小整数。

💡 N 越大 → 过渡带越窄、阻带衰减越大，但系统越复杂、相位失真越大。工程上要在"指标"与"代价"间取平衡。

6.1

巴特沃斯的极点分布

极点公式

\( s_{k} = \Omega_{c} \cdot e^{j\frac{(2k + N - 1)\pi}{2N}}\)，　\(k\) = 1, 2, …, \(N\)

取其中位于左半 s 平面的 N 个极点（保证因果稳定），构成：

\( H_{a}(s) = \frac{\Omega_{c}^{N}}{\sum_{k=1}^{N} (s - s_{k})} \)

（1）位置

2N 个极点均匀分布在 s 平面上半径为 Ω\(_{c}\) 的圆上，相邻间隔 π/N（巴特沃斯圆）。

N 为奇数时实轴上有极点；N 为偶数时实轴上无极点。

（2）对称性

极点关于虚轴对称，且没有极点落在虚轴上。

因此取左半平面的 N 个极点，系统一定因果稳定。

6.1 演示

巴特沃斯低通设计演示

阶数 N N = 3

左：幅频特性（N 越大越接近理想矩形）；右：s 平面极点分布（只取左半平面的 N 个极点）。

6.1

切比雪夫滤波器

幅度平方函数（Ⅰ 型）

\( |H_{a}(j\Omega)|^{2} = \frac{1}{1 + \varepsilon^{2}C_{N}^{2}(\Omega/\Omega_{p})} \)

\(C_{N}\)(x) 为 N 阶切比雪夫多项式：\(C_{N}\)(x) = cos(N·arccos x)（|x|≤1）；ε 控制通带波纹大小。

▸ 特点

通带内等波纹起伏，阻带单调下降。

（Ⅱ 型则相反：通带单调、阻带等波纹。）

▸ 与巴特沃斯对比

达到同样的过渡带指标，切比雪夫所需的阶数 N 更低（用通带波纹换取更陡的滚降）。

代价：通带内有波纹，相位非线性更明显。

6.1

椭圆滤波器（考尔滤波器）

特点

幅度响应在通带和阻带内都是等波纹的（使用椭圆有理函数逼近）。

它是过渡带最窄、阶数最低的滤波器类型——在给定指标下所需阶数最小。

_a(jΩ)| Ω 椭圆滤波器：通带、阻带同时等波纹 → 过渡带最陡 → 阶数最低

⚠ 代价：椭圆滤波器的相位非线性最严重，且设计计算最复杂（需用椭圆函数）。

6.2

冲激响应不变法

核心思想

使数字滤波器的单位冲激响应 h(n) 等于模拟滤波器冲激响应 \(h_{a}\)(t) 的等间隔抽样（乘 T）：

\(h(n) = T\cdot h_{a}(nT)\)

这样数字滤波器的时域波形形状与模拟滤波器保持一致。

设计步骤

① 把 \(H_{a}\)(s) 展开成部分分式：\(H_{a}\)(s) = Σ \(A_{k}\)/(s − \(s_{k}\))；
② 拉氏反变换得 \(h_{a}\)(t) = Σ \(A_{k}\)\(e^{s_{k}t}\)u(t)；
③ 抽样：h(n) = T·\(h_{a}\)(nT) = T·Σ \(A_{k}\)\(e^{s_{k}nT}\)u(n)；
④ z 变换得到数字系统函数。

\(H_{a}\)(\(s\)) = \(\sum\) \(\frac{A_{k}}{s - s_{k}}\)　⇒　\(H\)(\(z\)) = \(\sum\) \(\frac{TA_{k}}{1 - e^{s_{k}T}z^{-1}}\)

s 平面极点 \(s_{k}\) → z 平面极点 z = \(e^{s_{k}T}\)。

💡 频率关系：ω = ΩT —— 线性映射，这是冲激响应不变法的最大优点。而且模拟稳定（σ<0）⇒ |z|<1 数字稳定，满足物理可实现性。

6.2 演示

冲激响应不变法的频谱混叠

抽样周期 T T = 0.50 s 无混叠 ✓

抽样使数字频谱 = 模拟频谱的周期延拓（周期 2π/T）。当模拟滤波器不是严格带限时，相邻周期重叠 → 混叠。

6.2

混叠的原因与对策

数学表达

抽样后数字频率响应与模拟频率响应的关系：

\( H(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} H_{a}(j\frac{\omega - 2\pi k}{T}) \)

若 \(H_{a}\)(jΩ) 在 |Ω| ≥ π/T 处不为零，则各周期分量相互叠加 → 混叠失真。

⚠ 使用限制

由于任何实际模拟滤波器都不是严格带限（阻带只是衰减而非为零），混叠无法完全避免。

因此：适用于低通、带通滤波器设计，不直接用于高通、带阻滤波器设计（高频段混叠极严重）。

▸ 减小混叠的办法

减小 T（提高采样频率），使 π/T 远离工作频带；或在抽样前串一个抗混叠（预）滤波器。

6.2

冲激响应不变法例题

题目

已知模拟滤波器系统函数

\( H_{a}(s) = \frac{2}{(s+1)(s+3)} \)

用冲激响应不变变换法求数字滤波器系统函数 H(z)。

解

① 部分分式展开（极点 s = −1, −3）：

\(H_{a}\)(\(s\)) = \(\frac{1}{s+1}\) − \(\frac{1}{s+3}\)　，　\(A_{1}\)=1，\(A_{2}\)=−1

② 代入冲激响应不变法公式 \(s_{k}\) → \(e^{s_{k}T}\)：

\( H(z) = \frac{T}{1 - e^{-T}z^{-1}} - \frac{T}{1 - e^{-3T}z^{-1}} = \frac{T(e^{-T} - e^{-3T})z^{-1}}{(1 - e^{-T}z^{-1})(1 - e^{-3T}z^{-1})} \)

★ 取 T = 1 时

极点：z = \(e^{-1}\) = 0.3679，z = \(e^{-3}\) = 0.0498（均在单位圆内 → 稳定 ✓）；
零点：z = 0。可以看到极点严格按 z = \(e^{sT}\) 映射。

6.3.1

双线性变换法

变换公式

\(s\) = \(c\)·\(\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\)　，　\(c\) = \(\frac{2}{T}\) \( z = \frac{1 + (T/2)s}{1 - (T/2)s} \)

由此得 H(z) = \(H_{a}\)(s)|\(_{s = c(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)}\)。

频率关系

令 s = jΩ、z = \(e^{j\omega}\) 代入，可得：

\( \Omega = c \cdot tan\frac{\omega}{2} \) \( \omega = 2 \cdot arctan\frac{\Omega}{c} \)

Ω 与 ω 之间是非线性的（正切关系）—— 这是双线性变换的代价。

6.3.2

双线性变换的逼近情况

★ 优点：无混叠

s 平面与 z 平面一一对应，整个 Ω 轴（−∞→∞）被压缩映射到 ω ∈ (−π, π)，不可能发生频谱混叠。

⚠ 缺点：频率非线性

高频段被严重压缩，频率响应发生畸变，需要预畸变补偿。

💡 双线性变换法克服了冲激响应不变法频谱混叠的缺点，但是以牺牲频率线性为代价的。

6.3.2 演示

频率畸变与预畸变补偿

采样周期 T T = 1.00 s Ωp = 2 → ωp = ?

左：Ω–ω 映射曲线（正切压缩）；右：预畸变——先把数字边界频率 ω 反算成 Ω = c·tan(ω/2)，再按 Ω 设计模拟滤波器。

6.3.2

预畸变的操作要点

为什么要预畸变？

我们希望数字滤波器在指定的 ω\(_{p}\)、ω\(_{s}\) 处满足指标。但由于 Ω = c·tan(ω/2) 的非线性，若直接用 Ω = ω/T 设计，变换后边界频率会偏移。

解决办法：先把数字边界频率"反算"回模拟域，按反算后的 Ω 设计模拟滤波器 —— 这就是预畸变。

公式

\( \Omega_{p} = \frac{2}{T} \cdot tan\frac{\omega_{p}}{2} \) \( \Omega_{s} = \frac{2}{T} \cdot tan\frac{\omega_{s}}{2} \)

用预畸变后的 Ω\(_{p}\)、Ω\(_{s}\) 去设计 \(H_{a}\)(s)，再双线性变换，得到的 H(z) 就恰好在 ω\(_{p}\)、ω\(_{s}\) 处满足指标。

★ 适用范围

因为畸变是频率轴的非线性重映射，对分段为常数的滤波器（低通、高通、带通、带阻的通带/阻带）只需把边界频率预畸变即可完全补偿。
⇒ 所以双线性变换法适合于分段线性滤波器设计。

6.3.3

两种方法的比较

比较项	冲激响应不变法	双线性变换法
基本思想	时域抽样：h(n) = T·\(h_{a}\)(nT)	代数映射：s = c(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)
频率关系	ω = ΩT（线性）	Ω = c·tan(ω/2)（非线性）
频谱混叠	有混叠（时域抽样所致）	无混叠（一一映射）
稳定性	满足物理可实现性	满足物理可实现性
适用滤波器	低通、带通；不直接用于高通、带阻	适用于分段线性滤波器（各类均可）
补偿手段	减小 T / 加抗混叠滤波	预畸变边界频率

💡 工程首选：双线性变换法——因为无混叠、适用范围广、预畸变简单可靠。冲激响应不变法只在需要严格保持时域波形或频率线性关系时才用。

6.4

频带变换

要解决的问题

前面只讲了低通滤波器的设计。要得到高通、带通、带阻滤波器，就需要频带变换。

核心思路：先设计一个低通原型，再通过变换把它"映射"成所需频带。

6.4.1 模拟频带变换

在模拟域（s 平面）完成低通 → 高通/带通/带阻的变换，再数字化。

6.4.2 数字频带变换

先数字化得到数字低通，再在数字域（z 平面）完成频带变换。

_L(p) 频带变换 p → G(s) 所需 H_d(s) 低通高通 · 带通 · 带阻变换的实质：把低通原型的频率轴"拉伸/翻转/搬移"到目标频带

6.4.1

模拟频带变换

设低通原型的复变量为 p，目标滤波器的复变量为 s，各变换关系为：

低通 → 低通

\(p = s/\Omega_{c}\)

只做频率缩放（归一化）。

低通 → 高通

\(p = \Omega_{c}/s\)

取倒数：低频 ↔ 高频互换。

低通 → 带通

\( p = \frac{s^{2} + \Omega_{1}\Omega_{2}}{s(\Omega_{2} - \Omega_{1})} \)

阶数翻倍（N → 2N）。

低通 → 带阻

\( p = \frac{s(\Omega_{2} - \Omega_{1})}{s^{2} + \Omega_{1}\Omega_{2}} \)

即带通变换取倒数。

6.4.2

数字频带变换（低通—低通 / 高通）

设数字低通原型的变量为 u，目标的变量为 z，则 \(u^{-1}\) 与 \(z^{-1}\) 的变换关系为：

低通 → 低通

\(u^{-1}\) = \(\frac{z^{-1} - \alpha}{1 - \alpha z^{-1}}\)　，　|\(\alpha\)| < 1

这是一个一阶全通函数。参数 α 由截止频率决定：

\( \alpha = \frac{sin[(\theta_{c} - \omega_{c})/2]}{sin[(\theta_{c} + \omega_{c})/2]} \)

θ\(_{c}\) = 原型截止频率，ω\(_{c}\) = 目标截止频率。

低通 → 高通

\(u^{-1}\) = − \(\frac{z^{-1} + \alpha}{1 + \alpha z^{-1}}\)　，　|\(\alpha\)| < 1

比低通—低通多一个负号（等价于频率翻转 π），α 的公式形式相同。

变换函数仍是全通函数：|G(\(e^{j\omega}\))| = 1，只改变相位 → 只重排频率轴，不改变幅度。

6.4.2

数字频带变换（带通 / 带阻）

低通 → 带通

\( u^{-1} = - \frac{z^{-2} + a_{1}z^{-1} + a_{2}}{a_{2}z^{-2} + a_{1}z^{-1} + 1} \)

需要二阶全通函数（因为带通有两个边界频率 ω\(_{1}\)、ω\(_{2}\)）。

低通 → 带阻

\( u^{-1} = \frac{z^{-2} + a_{1}z^{-1} + a_{2}}{a_{2}z^{-2} + a_{1}z^{-1} + 1} \)

与带通仅差一个负号。系数 \(a_{1}\)、\(a_{2}\) 由 ω\(_{1}\)、ω\(_{2}\) 确定。

★ 共同特征

所有数字频带变换函数都是全通函数（all-pass）：模恒为 1。
⇒ 单位圆仍映射到单位圆 ⇒ 保持稳定性；只把频率轴重新排列，不改变幅度响应的形状。

6.4.3

频带变换原理

设变换关系为 \(u^{-1}\) = G(\(z^{-1}\))（把原型变量 u 映射到目标变量 z）。该变换应满足：

条件 ①

G(\(z^{-1}\)) 必须是 \(z^{-1}\)（或 \(u^{-1}\)）的有理函数，这样变换后 \(H_{d}\)(z) 仍是有理函数，可物理实现。

条件 ②

保持因果稳定性：z 平面的单位圆内部必须映射到 u 平面的单位圆内部。
即 G 为全通函数，|G(\(e^{j\omega}\))| = 1。

条件 ③

变换后的数字滤波器频带应满足要求：u 平面单位圆上的频率点 θ，应被映射到 z 平面单位圆上期望的频率点 ω。

💡 三条合起来的直观理解：用一条"全通"的橡皮筋，把单位圆上的频率点拉伸、翻转、搬移到新位置，幅度形状不变，稳定性不变。

小结

第6章核心回顾

设计路线

定指标 → 系统逼近 → 有限精度实现
主流：模拟原型 → 数字
模拟原型：巴特沃斯 / 切比雪夫 / 椭圆

巴特沃斯

|\(H_{a}\)|² = 1/[1+(Ω/Ω\(_{c}\))\(^{2N}\)]，最大平坦
极点均布于半径 Ω\(_{c}\) 的圆上，取左半平面 N 个
Ω\(_{c}\) 处为 −3 dB 点

冲激响应不变法

h(n) = T·\(h_{a}\)(nT)，\(s_{k}\) → z = \(e^{s_{k}T}\)
频率线性 ω = ΩT
有混叠，不适用于高通 / 带阻

双线性变换法

s = c(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)，c = 2/T
无混叠，s↔z 一一对应
频率非线性：Ω = c·tan(ω/2)，需预畸变

🎯 一句话：IIR 设计 = 选原型（巴特沃斯等）→ 选变换（双线性为主）→ 必要时频带变换；理解"线性但混叠"与"无混叠但非线性"这组权衡，就抓住了本章要害。

演示

重叠相加法（Overlap-Add）

长序列分段，每段与短 h 线性卷积后，把重叠部分相加。适合用 FFT 实现长卷积。

演示

线性卷积 vs 圆周卷积

L 点圆周卷积 = 线性卷积以 L 为周期混叠。仅当 L ≥ N₁+N₂−1 时才等于线性卷积（无混叠）。

L = 7

习题

本章习题

用矩形窗设计线性相位 FIR 低通，截止频率 \(\omega_c\)，说明过渡带宽与窗长 \(N\) 的关系。
若 \(h(n)\) 偶对称且长度为 \(N\)，其相位响应具有什么特点？
窗函数法设计中，加大窗长 \(N\) 会如何改变过渡带与阻带衰减？

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本章要掌握什么

本章知识结构

设计步骤与方法

6.1 模拟低通滤波器

6.2 冲激响应不变法

6.3 双线性变换法

6.4 频带变换

数字滤波器的一般设计步骤

三步走

通带容限与阻带容限

IIR 数字滤波器的常用设计方法

三种思路

模拟 → 数字的两种常用方法

巴特沃斯幅度平方函数

模拟巴特沃斯低通滤波器

为什么叫"最大平坦"？

阶数 N 的确定方法

由衰减指标求 N

巴特沃斯的极点分布

极点公式

（1）位置

（2）对称性

巴特沃斯低通设计演示

切比雪夫滤波器

幅度平方函数（Ⅰ 型）

椭圆滤波器（考尔滤波器）

特点

冲激响应不变法

核心思想

设计步骤

冲激响应不变法的频谱混叠

混叠的原因与对策

数学表达

冲激响应不变法例题

题目

解

双线性变换法

变换公式

频率关系

双线性变换的逼近情况

频率畸变与预畸变补偿

预畸变的操作要点

为什么要预畸变？

公式

两种方法的比较

频带变换

要解决的问题

6.4.1 模拟频带变换

6.4.2 数字频带变换

模拟频带变换

低通 → 低通

低通 → 高通

低通 → 带通

低通 → 带阻

数字频带变换（低通—低通 / 高通）

低通 → 低通

低通 → 高通

数字频带变换（带通 / 带阻）

低通 → 带通

低通 → 带阻

频带变换原理

条件 ①

条件 ②

条件 ③

第6章核心回顾

设计路线

巴特沃斯

冲激响应不变法

双线性变换法

重叠相加法（Overlap-Add）

线性卷积 vs 圆周卷积

本章习题