CHAPTER 2

离散时间信号与系统的
z 域分析和频域分析

z-Transform & Frequency-Domain Analysis

课　程数字信号处理（DSP）

学　期2026 年秋季学期

32 学时24 智能医学

学习要求

本章要掌握什么

（1）掌握 z 变换的定义与计算；
（2）掌握 z 反变换的定义与计算；
（3）理解 z 变换性质；
（4）理解 z 变换与其它变换之间关系；
（5）掌握差分方程的 z 域解法；
（6）掌握离散时间系统的系统函数和频率响应的概念。

💡 本章是第 1 章的"升级"：把时域里麻烦的卷积，搬到 z 域变成简单的乘法。

知识地图

本章知识结构

2.1 z 变换的定义及收敛域

双边 / 单边定义 · ROC 与序列类型的对应关系

2.2 z 反变换

幂级数法 · 留数定理法 · 部分分式展开法

2.3 z 变换性质 · 2.4 变换间关系

线性 / 位移 / 初值定理 / 卷积定理；与拉氏变换、DTFT 的关系

2.5 差分方程的 z 域解法

零输入响应 · 零状态响应 · 全响应

2.6 系统函数与频率响应

H(z) 与零极点 · 因果稳定性判据 · 频率响应 · 几何确定法 · 全通与最小相位系统

2.1.1

z 变换的定义

双边 z 变换

\(X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x(n) z^{-n}\)

对所有整数 n 求和，是本章默认使用的形式。

单边 z 变换

\(X(z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x(n) z^{-n}\)

只对 n ≥ 0 求和，适合处理因果序列与带初始条件的差分方程。

★ z 变换是傅里叶变换的推广，傅里叶变换是单位圆上的 z 变换

2.1.1

z 平面与单位圆

z 是复变量，z = |z|·\(e^{j\theta}\)。z 变换把序列映射到复平面上的一个函数。

z = \(e^{j\omega}\)　⇒　|\(z\)| = 1（单位圆） \(X(e^{j\omega}) = X(z)|_{z=e^{j\omega}}\)

▸ 三个区域的物理含义

单位圆内 |z|<1　→ 对应衰减（稳定）
单位圆上 |z|=1　→ 对应傅里叶变换（频域）
单位圆外 |z|>1　→ 对应增长（不稳定）

2.1.2

z 变换的收敛域 ROC

为什么必须有收敛域？

z 变换是一个无穷级数 Σ x(n)\(z^{-n}\)，只有在使该级数收敛的 z 值上才有意义。

ROC：使 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\) |\(x\)(\(n\)) \(z^{-n}\)| < ∞ 的全部 \(z\) 的集合

⚠ 关键

同一个 X(z) 表达式，配上不同的 ROC，对应完全不同的序列。
所以 z 变换必须连同收敛域一起给出才完整。

2.1.2 演示

收敛域交互演示　z 平面 ↔ 序列

序列类型极点半径 r = 0.70

判据：稳定 ✓ 因果 ✓

2.1.2 ①

有限长序列的 ROC

特点

序列只在有限区间 n₁ ≤ n ≤ n₂ 内非零，求和项数有限，只要每一项有限就收敛。

一般 ROC：0 < |z| < ∞（整个 z 平面）

n₁ ≥ 0（因果有限长）

\(z^{-n}\) 中 n≥0，只怕 z = 0。
ROC：|z| > 0

n₂ ≤ 0（反因果有限长）

n≤0 时 \(z^{-n}\)=\(z^{|n|}\)，只怕 z = ∞。
ROC：|z| < ∞

n₁<0 且 n₂>0（跨零）

既怕 0 又怕 ∞。
ROC：0 < |z| < ∞

例：δ(n) 的 z 变换 = 1，ROC 为整个 z 平面。

2.1.2 ②

右边序列的 ROC

定义与 ROC

n ≥ n₁ 时有值，n < n₁ 时恒为 0（若 n₁ ≥ 0 则为因果序列）。

ROC：|\(z\)| > \(R_{x-}\)（半径为 \(R_{x-}\) 的圆外区域）

\(R_{x-}\) 是模最大的那个有限极点的模。

因果稳定条件

因果 → ROC 在圆外；稳定 → ROC 含单位圆。
两者兼具要求 全部极点在单位圆内。

典型例子

x(n) = aⁿu(n)　⇒　X(z) = 1/(1−az⁻¹)，ROC：|z| > |a|

2.1.2 ③

左边序列的 ROC

定义与 ROC

n ≤ n₂ 时有值，n > n₂ 时恒为 0（若 n₂ ≤ 0 则为反因果序列）。

ROC：|\(z\)| < \(R_{x+}\)（半径为 \(R_{x+}\) 的圆内区域）

\(R_{x+}\) 是模最小的那个有限非零极点的模。

稳定性

ROC 在圆内，要含单位圆必须 \(R_{x+}\) > 1，即极点在单位圆外。

但圆内 ROC 意味着非因果。

典型例子

x(n) = −aⁿu(−n−1)　⇒　X(z) = 1/(1−az⁻¹)，ROC：|z| < |a|

注意：代数式与右边序列完全相同，靠 ROC 区分！

2.1.2 ④

双边序列的 ROC

定义与 ROC

n 从 −∞ 延伸到 +∞（两边都无限长）。可看作一个左边序列 + 一个右边序列叠加。

ROC：\(R_{x-}\) < |\(z\)| < \(R_{x+}\)（环形区域）

若 \(R_{x-}\) ≥ \(R_{x+}\)，两个区域不相交，则无收敛域（z 变换不存在）。

稳定性

环形 ROC 含单位圆 ⇔ \(R_{x-}\) < 1 < \(R_{x+}\)。
双边序列可以是稳定的，但一定非因果。

典型例子

x(n) = \(a^{|n|}\)（|a|<1）
X(z) ROC：|a| < |z| < 1/|a|

两极点互为倒数，ROC 是夹在中间的环。

2.1.2

ROC 与序列类型对照表

序列类型	ROC 形状	能否因果	稳定条件
有限长序列	整个 z 平面（可能去掉 0 和/或 ∞）	取决于是否 n₁≥0	总是稳定（无极点）
右边序列	\|z\| > \(R_{x-}\)　圆外	可以（n₁ ≥ 0）	\(R_{x-}\) < 1（极点全在单位圆内）
左边序列	\|z\| < \(R_{x+}\)　圆内	不可以	\(R_{x+}\) > 1（极点全在单位圆外）
双边序列	\(R_{x-}\) < \|z\| < \(R_{x+}\)　环形	不可以	\(R_{x-}\) < 1 < \(R_{x+}\)

★ 一句话记忆

收敛域以极点为边界，且 ROC 内绝不包含任何极点；因果看"是否圆外"，稳定看"是否含单位圆"。

2.2

z 反变换

任务

已知序列的 z 变换 X(z) 及其收敛域，求该序列 x(n)。

\(x(n) = \frac{1}{2\pi j} \sum_{C} X(z) z^{n}-1 dz\)

C 是 ROC 内绕原点一周的闭合围线。

1. 幂级数法

把 X(z) 展开成 \(z^{-1}\) 的幂级数，系数即 x(n)。适合简单有理式，用长除法。

2. 留数定理法

x(n) = Σ[X(z)\(z^{n-1}\) 在围线 C 内各极点的留数]。理论最通用。

3. 部分分式展开法

把 X(z)/z 拆成简单分式，逐项查表反变换。工程最常用。

2.2 ③

部分分式展开法

步骤

① 先把 X(z) 除以 z，得到 X(z)/z（保证分母阶数高于分子）；
② 将 X(z)/z 展开为部分分式：X(z)/z = Σ \(A_{k}\)/(z − \(z_{k}\))；
③ 两边同乘 z，得 X(z) = Σ \(A_{k}\)·z/(z − \(z_{k}\))；
④ 根据收敛域决定每一项对应右边还是左边序列，查表得 x(n)。

\(\frac{z}{z - a}\)，|\(z\)| > |\(a\)|　⇒　\(a^{n}u\)(\(n\)) \(\frac{z}{z - a}\)，|\(z\)| < |\(a\)|　⇒　−\(a^{n}u\)(−\(n\)−1)

留数 \(A_{k}\) = [(z − \(z_{k}\))·X(z)/z]\(_{z=z_{k}}\)

⚠ 收敛域在这里起决定性作用：同一个分式，ROC 在圆外取右边序列，在圆内取左边序列。

2.3 ①

z 变换性质：线性

若 \(x\)(\(n\)) ↔ \(X\)(\(z\))，\(y\)(\(n\)) ↔ \(Y\)(\(z\))，则 \(a\cdot x(n) + b\cdot y(n) \leftrightarrow aX(z) + bY(z)\)

收敛域为两者 ROC 的交集（若相消则可能扩大）。

_x ∩ R_y（取交集）

2.3 ②

z 变换性质：位移特性

双边 z 变换（最常用）

若 \(x\)(\(n\)) ↔ \(X\)(\(z\))，则 \(x\)(\(n\) − \(m\)) ↔ \(z^{-m}\) \(X\)(\(z\))

延迟 m 位 ⇔ 乘 \(z^{-m}\)。这正是差分方程 z 域解法的基础。

单边 z 变换（带初始条件）

\(x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z) + x(-1)\) \(x(n-2) \leftrightarrow z^{-2}X(z) + z^{-1}x(-1) + x(-2)\)

多出来的项就是初始条件，这正是单边变换能直接解带初值差分方程的原因。

💡 直觉：\(z^{-1}\) 就是单位延迟算子——这与第 1 章框图中的"延迟器 z⁻¹"是同一件事。

2.3 ③

z 变换性质：初值定理

定理

若 x(n) 是因果序列（n < 0 时 x(n) = 0），则

\(x(0) = lim_{z\to\infty} X(z)\)

证明思路

因果序列的 z 变换为 X(z) = x(0) + x(1)\(z^{-1}\) + x(2)\(z^{-2}\) + …

令 z → ∞，则所有 \(z^{-k}\)（k ≥ 1）项→ 0，只剩 x(0)。

\(lim_{z\to\infty}\) \(X\)(\(z\)) = \(x\)(0) + 0 + 0 + … = \(x\)(0)　∎

用途：不必做反变换，就能直接读出序列的首个样值，常用于快速校验结果。

2.3 ④

时域卷积定理

★ 本章最重要的性质

若 \(y\)(\(n\)) = \(x\)(\(n\)) * \(h\)(\(n\))，则 \(Y\)(\(z\)) = \(X\)(\(z\)) · \(H\)(\(z\))

时域的卷积 → z 域的相乘。ROC 至少为两者 ROC 的交集。

2.4.1

z 变换与拉氏变换的关系

映射关系

对连续信号 \(x_{a}\)(t) 抽样得 x(n) = \(x_{a}\)(nT)，其拉氏变换与 z 变换满足：

\(z\) = \(e^{sT}\)，　\(s\) = \(\sigma\) + \(j\Omega\)　⇒　\(z\) = \(e^{\sigma T}\) · \(e^{j\Omega T}\)

σ < 0（s 左半平面）

\(e^{\sigma T}\) < 1 → |z| < 1　单位圆内（衰减、稳定）

σ = 0（s 虚轴）

\(e^{\sigma T}\) = 1 → |z| = 1　单位圆（傅里叶变换）

σ > 0（s 右半平面）

\(e^{\sigma T}\) > 1 → |z| > 1　单位圆外（增长、不稳定）

2.4.2

z 变换与序列傅里叶变换的关系

z 变换在单位圆上取值，就得到序列的傅里叶变换（DTFT）：

\(X(e^{j\omega}) = X(z)|_{z = e^{j\omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}\)

前提：ROC 必须包含单位圆，否则 DTFT 不存在（序列不绝对可和）。

序列傅里叶正变换

\(X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}\)

序列傅里叶反变换

\(x(n) = \frac{1}{2\pi} \sum_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega\)

💡 一句话：z 变换是"全平面"的推广，DTFT 是"单位圆上"的特例。这也解释了为什么 ROC 含单位圆 ⇔ 稳定 ⇔ FT 存在。

2.4.2

序列傅里叶变换的特点

① 周期性

X(\(e^{j\omega}\)) 是 ω 的周期函数，周期为 2π。

\(X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})\)

因为 \(e^{-j(\omega+2\pi)n}\) = \(e^{-j\omega n}\)·\(e^{-j2\pi n}\) = \(e^{-j\omega n}\)。

② 连续性

时域离散 ⇒ 频域周期；ω 是连续变量。

这与"时域周期 ⇔ 频域离散"形成对偶。

③ 主值区间

只需研究 ω ∈ [−π, π] 或 [0, 2π] 一个周期即可。
ω = 0 对应直流，ω = π 对应最高频率（奈奎斯特）。

④ 存在条件

序列必须绝对可和 Σ|x(n)| < ∞（即 ROC 含单位圆）。

否则需引入冲激函数（如周期序列的 DTFT）。

2.5

差分方程的z 域解法

思路

利用位移特性把差分方程中的 y(n−k)、x(n−m) 全部变成 \(z^{-k}\)Y(z)、\(z^{-m}\)X(z)，

于是差分方程 → 代数方程，解出 Y(z) 后再做 z 反变换。

\(\sum_{k=0}^{N}\) \(a_{k}\) \(z^{-k}\) \(Y\)(\(z\)) = \(\sum_{m=0}^{M}\) \(b_{m}\) \(z^{-m}\) \(X\)(\(z\)) + 初始条件项

步骤 ①

对差分方程两边取 z 变换（用位移性质）。

步骤 ②

代入初始条件，解代数方程求 Y(z)。

步骤 ③

对 Y(z) 做 z 反变换，得到 y(n)。

2.5

零输入响应与零状态响应

系统处于零输入状态

输入 x(n) = 0，仅由系统初始储能（初始条件）产生的响应。

\(y_{zi}\)(\(n\))　←　由 \(y\)(−1), \(y\)(−2) … 决定

对应微分方程中的"自由响应"。

系统处于零状态

初始条件全部为 0，仅由外加输入产生的响应。

\(y_{zs}(n) = x(n) * h(n)\)

零状态响应 = 输入与单位冲激响应的卷积（第 1 章结论）。

全响应＝零输入响应＋零状态响应

线性系统特有的分解性质：两部分可独立求解再相加。

💡 在 z 域：Y(z) = \(Y_{zi}\)(z) + \(Y_{zs}\)(z)，其中 \(Y_{zs}\)(z) = X(z)·H(z)（正是卷积定理）。

2.6.1

离散系统的系统函数 H(z)

定义

系统函数定义为零状态响应的 z 变换与输入的 z 变换之比，也等于单位冲激响应的 z 变换：

\(H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = Z[h(n)] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)z^{-n}\)

由差分方程直接写出

对 Σ\(a_{k}\)y(n−k) = Σ\(b_{m}\)x(n−m)（零初始条件）取 z 变换，整理得：

\(H(z) = \frac{\sum_{m=0}^{M} b_{m} z^{-m}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}} = b_{0}\cdot\frac{\sum (1 - z_{m}z^{-1})}{\sum (1 - p_{k}z^{-1})}\)

分子决定零点 \(z_{m}\)，分母决定极点 \(p_{k}\)。

2.6.2

零点与极点

零点（○）

使 H(z) = 0 的 z 值，即分子多项式的根。
零点靠近某频率 → 该频率被抑制；在单位圆上 → 完全陷波。

极点（×）

使 H(z) → ∞ 的 z 值，即分母多项式的根。
极点靠近某频率 → 该频率被增强；决定稳定性与 ROC。

_k| < 1）零点则不受限制，可任意放置

2.6.2

因果性与稳定性判据

稳定判据（z 域表述）

若系统函数在单位圆上收敛 —— 即系统函数的收敛域包括单位圆，系统是稳定的。

稳定 ⇔ ROC 含单位圆因果 ⇔ ROC 为圆外且含 ∞，即 h(n) 为因果序列

对因果系统而言

因果 ⇒ ROC 在最外层极点之外。要稳定就要求所有极点在单位圆内：

\(H\)(\(z\)) 的全部极点 \(p_{k}\) 满足 |\(p_{k}\)| < 1　⇒　因果稳定

💡 这与第 1 章的 Σ|h(n)| < ∞ 完全一致：h(n) 绝对可和 ⇔ H(z) 的 ROC 含单位圆 ⇔ FT 存在。

2.6.2

z 域下的物理可实现系统

物理可实现系统＝稳定且因果

⇒ H(z) 的全部极点在单位圆内，ROC 为 |z| > \(r_{max}\)，且 \(r_{max}\) < 1（圆外且含单位圆与 ∞）

_max，含单位圆 ✓ 因果 + 不稳定极点在圆外 ROC：|z| > r_max，r_max > 1 ✗ 非因果 + 稳定 ROC 在内 ROC：|z| < r_min，含单位圆 △ 仅离线可实现

2.6.3

系统的频率响应

定义

系统函数在单位圆上的取值，即单位冲激响应的傅里叶变换：

\(H(e^{j\omega}) = H(z)|_{z=e^{j\omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)e^{-j\omega n}\)

前提：系统稳定（ROC 含单位圆）。

物理意义

输入复指数（或正弦）序列 \(e^{j\omega n}\) 时，输出 = H(\(e^{j\omega}\)) · \(e^{j\omega n}\)。

即：幅度被 |H(\(e^{j\omega}\))| 缩放，相位被 arg[H(\(e^{j\omega}\))] 平移 —— 这就是"滤波"的本质。

^jωn LTI 系统 h(n) H(e^jω)·e^jωn 复指数是 LTI 系统的"特征函数"：形状不变，只变幅度与相位 |H| 缩放幅度，∠H 平移相位

2.6.3

频率响应的极坐标描述

\(H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})| \cdot e^{j\phi(\omega)}\)

可分解为幅度与相位两部分描述。

幅度响应（幅频特性）

\(|H(e^{j\omega})|\)

描述各频率分量放大 / 衰减多少。
是 ω 的偶函数，周期 2π。

相位响应（相频特性）

\(\phi(\omega) = arg[H(e^{j\omega})]\)

描述各频率分量的时间延迟。
是 ω 的奇函数，周期 2π。

群延迟

\(\tau(\omega) = - \frac{d\phi(\omega)}{d\omega}\)

相位对频率的负导数。群延迟为常数 ⇒ 信号各频率分量延迟相同 ⇒ 波形不失真（这正是第 7 章 FIR 线性相位的价值）。

2.6.4 演示

频率特性的几何确定法

零极点配置 ω ω = 0.25π

几何法则： |H(\(e^{j\omega}\))| = 零点矢量长度之积 ÷ 极点矢量长度之积； ∠H = 零点矢量角之和 − 极点矢量角之和

2.6.5 ①

全通系统

定义

全通系统是指幅度响应 |H(\(e^{j\omega}\))| 恒为常数（通常取 1）的系统。

|\(H\)(\(e^{j\omega}\))| = 1，　对所有 ω

全通系统让输入信号中所有频率分量以恒定的增益或衰减通过系统——只改变相位，不改变幅度。

一阶全通系统

\(H\)(\(z\)) = \(\frac{z^{-1} - a^{*}}{1 - az^{-1}}\)，　|\(a\)| < 1

零点 1/\(a^{*}\) 与极点 a 关于单位圆镜像对称——这是全通系统的零极点特征。

2.6.5 ②

最小相位与最大相位系统

最小相位系统

系统函数全部极点和零点都在单位圆内的因果稳定系统。

准确地说，最小相位系统是最小相位延迟系统——在所有幅度响应相同的系统中，它的相位延迟最小。

最大相位系统

系统函数全部极点在单位圆内，全部零点在单位圆外的因果稳定系统。

零点全在圆外 ⇒ 相位延迟最大。

重要分解

任何系统都可以表示成一个最小相位系统和一个全通系统的级联：

\(H(z) = H_{min}(z) \cdot H_{ap}(z)\)

把圆外零点 \(z_{0}\) 用其镜像 1/\(z_{0}^{*}\) 替换 → 得最小相位部分；替换过程产生的是全通因子。

💡 工程意义：最小相位系统能量最集中、响应最快，且逆系统因果稳定。在语音、地震信号、通信均衡中都很关键。

小结

第2章核心回顾

z 变换与 ROC

X(z) = Σ x(n)\(z^{-n}\)；ROC 必须随表达式一同给出
右边→圆外，左边→圆内，双边→环形
反变换：幂级数 / 留数 / 部分分式

性质与关系

线性 · 位移 \(z^{-m}\) · 初值定理 · 卷积定理
z = \(e^{sT}\)；s 虚轴 → z 单位圆
DTFT = 单位圆上的 z 变换，2π 周期

系统函数 H(z)

H(z) = Y(z)/X(z) = Z[h(n)]
分子根 = 零点，分母根 = 极点
稳定 ⇔ ROC 含单位圆；因果 ⇔ ROC 圆外

频率响应

H(\(e^{j\omega}\)) = |H|·\(e^{j\phi(\omega)}\)
几何确定法：零点矢量积 / 极点矢量积
全通：|H|≡1；最小相位：零极点全在圆内

🎯 一句话：z 变换把时域的卷积变成 z 域的乘法；零极点的位置同时决定了系统的稳定性、因果性与频率响应形状。

演示

几何求值 |X(e^{jω})|

沿单位圆转一圈：|X(e^{jω})| = 各零点到 e^{jω} 距离之积 ÷ 各极点到 e^{jω} 距离之积。极点附近出现峰值。

演示

ROC 与序列因果性

同一收敛域半径，序列形式不同：右边序列(n≥0)、左边序列(n<0)、双边序列。ROC 形状决定因果/稳定。

习题

本章习题

求序列 \(x(n)=a^{n}u(n)\)（\(0\lt|a|\lt1\)）的 Z 变换 \(X(z)\) 及其收敛域 ROC。
已知 \(X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)，\(|z|\gt0.5\)，求原序列 \(x(n)\)。
利用部分分式展开求 \(X(z)=\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.25z^{-1})}\) 的反 Z 变换 \(x(n)\)。

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离散时间信号与系统的z 域分析和频域分析

本章要掌握什么

本章知识结构

2.1 z 变换的定义及收敛域

2.2 z 反变换

2.3 z 变换性质 · 2.4 变换间关系

2.5 差分方程的 z 域解法

2.6 系统函数与频率响应

z 变换的定义

双边 z 变换

单边 z 变换

z 平面与单位圆

z 变换的收敛域 ROC

为什么必须有收敛域？

收敛域交互演示 z 平面 ↔ 序列

有限长序列的 ROC

特点

右边序列的 ROC

定义与 ROC

左边序列的 ROC

定义与 ROC

双边序列的 ROC

定义与 ROC

ROC 与序列类型对照表

z 反变换

任务

1. 幂级数法

2. 留数定理法

3. 部分分式展开法

部分分式展开法

步骤

z 变换性质：线性

z 变换性质：位移特性

双边 z 变换（最常用）

单边 z 变换（带初始条件）

z 变换性质：初值定理

定理

证明思路

时域卷积定理

z 变换与拉氏变换的关系

映射关系

z 变换与序列傅里叶变换的关系

序列傅里叶正变换

序列傅里叶反变换

序列傅里叶变换的特点

① 周期性

② 连续性

③ 主值区间

④ 存在条件

差分方程的z 域解法

思路

零输入响应与零状态响应

系统处于零输入状态

系统处于零状态

离散系统的系统函数 H(z)

定义

由差分方程直接写出

零点与极点

零点（○）

极点（×）

因果性与稳定性判据

稳定判据（z 域表述）

对因果系统而言

z 域下的物理可实现系统

系统的频率响应

定义

物理意义

频率响应的极坐标描述

幅度响应（幅频特性）

相位响应（相频特性）

群延迟

频率特性的几何确定法

全通系统

定义

一阶全通系统

最小相位与最大相位系统

最小相位系统

最大相位系统

重要分解

离散时间信号与系统的
z 域分析和频域分析

收敛域交互演示　z 平面 ↔ 序列