CHAPTER 1

离散时间信号与系统
的时域分析

Discrete-Time Signals & Systems · Time-Domain Analysis

课　程数字信号处理（DSP）

学　期2026 年秋季学期

32 学时24 智能医学

学习要求

本章要掌握什么

（1）掌握常用典型序列表示方法；
（2）理解线性时不变系统的定义；
（3）掌握离散卷积的定义、计算与性质；
（4）了解常系数线性差分方程概念及解法；
（5）掌握物理可实现系统的定义及分析方法。

💡 本章是整门课的语言基础——序列是"词汇"，LTI 系统与卷积是"语法"。

知识地图

本章知识结构

1.1 离散时间信号 — 序列

基本运算 · 常用典型序列 · 周期性 · 一般表示与能量

1.2 线性时不变系统

线性（均匀性 + 叠加性）· 时不变 · LTI 系统

1.3 离散卷积

单位冲激响应 · 卷积推导 · 性质 · 计算方法

1.4 常系数线性差分方程

系统结构表示 · 经典法 / 递推法 / 变换域法

1.5 物理可实现系统

稳定性（冲激响应绝对可和）＋因果性（h(n)=0, n<0）

1.1

离散时间信号— 序列

(1) 连续时间信号

在连续时间范围内有定义的信号。
幅值可以连续，也可以离散。
幅值和时间都连续 → 模拟信号

(2) 离散时间信号

时间变量离散化的信号。
即"序列" x(n)，n 为整数

(3) 数字信号

时间和幅值都离散化的信号。
DSP 真正处理的对象

1.1.1

序列的基本运算（交互演示）

运算定义

1. 序列相加：同序号的序列值逐项对应相加
2. 序列相乘：同序号的序列值逐项对应相乘
3. 序列移位（延迟）：x(n−n₀)
4. 序列反褶：x(−n)，以 n=0 纵轴为对称轴翻转

▸ 点击按钮观察结果

当前：x₁(n) + x₂(n)　逐项相加

x₁(n)x₂(n)运算结果

1.1.2 ①

单位冲激序列δ(n)

单位抽样序列（单位冲激）

\(\delta(n)=\begin{cases}1, & n=0\\ 0, & n\neq 0\end{cases}\)

它是最基本的序列——任意序列都能由它加权延迟构造出来。

1.1.2 ②

单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列

\(u(n)=\begin{cases}1, & n\ge 0\\ 0, & n<0\end{cases}\)

作用：把序列"开关"在 n=0 处接通，常用来表示因果序列。

1.1.2 ③

矩形序列\(R_{N}\)(n)

矩形序列

\(R_{N}(n)=\begin{cases}1, & 0\le n\le N-1\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)

N 称为长度。矩形序列是有限长序列的典型代表，卷积、DFT 都常以它为例。

1.1.2

三种序列的关系

可以互相表示

\(\delta(n) = u(n) - u(n-1)\) \(u(n) = \sum_{k = 0}^{\infty} \delta(n-k)\) \(R_{N}(n) = u(n) - u(n-N)\)

1.1.2 ④

实指数序列\(a^{n}\)

\(x(n) = a^{n} u(n)\)

|a| < 1　收敛

序列值随 n 增大而衰减趋于 0。
例：a = 0.8 → 0.8ⁿ 单调衰减

|a| > 1　发散

序列值随 n 增大而发散。
例：a = 1.2 → 1.2ⁿ 单调增长

a < 0 时序列值正负交替；a = 1 退化为 u(n)。收敛条件 |a|<1 与系统稳定性直接相关。

1.1.2 ⑤

正弦序列与数字域频率

\(x(n) = A sin(\omega_{0}n + \phi)\)

ω₀ 为数字域频率，单位为弧度。
它与模拟角频率 Ω 的关系：ω₀ = Ω·T = Ω / \(f_{s}\)

关键直觉

数字域频率 ω₀ 是相邻样点之间转过的相位角。
所以 ω₀ 越大，一个周期内样点越少、波形越"抖"。

1.1.2 ⑥

复指数序列\(e^{j\omega₀n}\)

\(x(n) = e^{(\sigma+j\omega₀)n} = e^{\sigma n} \cdot e^{j\omega₀n}\) \(= e^{\sigma n}[cos(\omega_{0}n) + j sin(\omega_{0}n)]\)

极坐标表示：模 = \(e^{\sigma n}\)，相角 = ω₀n

σ = 0 → 纯振荡

x(n) = \(e^{j\omega₀n}\)，模恒为 1，在复平面单位圆上等速旋转。

σ ≠ 0 → 螺旋

σ < 0 时模 \(e^{\sigma n}\) 随 n 衰减（向内螺旋）；σ > 0 时增长（向外螺旋）。

1.1.3

序列的周期性

周期序列的定义

\(x(n) = x(n + N)\)

N 为周期，取最小的正整数；对任意整数 n 成立。

1.1.3

正弦序列的周期性（交互演示）

判据

\(\frac{2\pi}{\omega₀}\) = \(\frac{N}{k}\)（有理数，既约）→ 周期，周期为 \(N\)

若 2π/ω₀ 为无理数（如 ω₀ = 1 rad），则不是周期序列。

ω₀ = 0.2π 周期 N = 10

结论：离散正弦序列不一定是周期序列——这是与连续正弦信号的重大区别。

1.1.4 ①

任意序列的一般表示

用冲激序列"搭"出任意序列

\(x(n) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x(k)\cdot\delta(n - k)\)

任何序列都可以用加权、延迟的单位冲激序列之和来表示。

k = 0

目标序列 x(n)当前分量 x(k)δ(n−k)累加和

1.1.4 ②

序列的能量

定义

序列 x(n) 的能量 E 定义为序列各抽样值的平方和：

\(E = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} |x(n)|^{2}\)

▸ 物理含义

能量有限（E < ∞）的序列称为能量信号；
能量无限但功率有限的称为功率信号（如周期序列）。

▸ 与后续章节的联系

该式就是帕塞瓦尔定理的时域形式：时域能量 = 频域能量。第 3 章 DFT 会再次用到。

1.2

离散时间系统

离散时间系统本质上是将输入序列变换为输出序列的一种运算。

1.2 ①

线性系统

若系统满足均匀性和叠加性，则称此系统为线性系统。

\(T[a\cdot x_{1}(n) + b\cdot x_{2}(n)] = a\cdot T[x_{1}(n)] + b\cdot T[x_{2}(n)]\)

① 均匀性（齐次性）

输入放大 a 倍，输出也放大 a 倍。
T[a·x(n)] = a·T[x(n)]

② 叠加性（可加性）

两个输入之和的响应 = 各自响应之和。
T[x₁(n)+x₂(n)] = T[x₁(n)] + T[x₂(n)]

1.2 ②

时不变（非移变）系统

定义

系统响应与输入信号加于系统的时刻无关。

若 \(T\)[\(x\)(\(n\))] = \(y\)(\(n\))，则 \(T\)[\(x\)(\(n\)−\(n_{0}\))] = \(y\)(\(n\)−\(n_{0}\))

输入延迟 n₀，输出也只是同样延迟 n₀，波形不变。

💡 时不变意味着系统参数不随时间变化；"非移变"是同一含义的另一种说法。

1.2 ③

线性时不变（LTI）系统

如果一个系统既满足线性条件又满足时不变条件，就称它为线性时不变系统，记为 LTI 系统。

★ 为什么 LTI 如此重要？

线性时不变系统是工程中常遇到的一类系统。对于这类系统，有完备的数学分析工具——一旦知道单位冲激响应 h(n)，任意输入的响应都能由卷积算出。

1.3.1

单位冲激响应 h(n)

定义

以单位冲激序列作为激励（输入）的线性时不变系统的零状态响应（输出）称为单位冲激响应，记作：

\(h(n) = T[\delta(n)]\)

1.3.2

离散卷积的推导

任意一个输入序列可表示为加权冲激之和：

\(x(n) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} x(m)\cdot\delta(n - m)\)

① 由于系统是线性的

响应的加权和 = 加权的响应和，可逐项求响应再相加。

② 又由于系统是时不变的

δ(n−m) 的响应 = h(n−m)，只是把 h(n) 延迟 m。

③ 所以

全部加起来即得输出，又称其为线性卷积。

\(y(n) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} x(m)\cdot h(n - m) = x(n) * h(n)\)

1.3.2

卷积的物理意义与长度

★ 物理意义

线性卷积的物理意义是求线性时不变系统的零状态响应。

结果长度

两个长度分别为 N 和 M 的有限长序列，卷积结果是一个长度为 N + M − 1 的序列。

\(L = N + M - 1\)

1.3.3 (1)

卷积的"筛选"特性

任意序列与单位冲激序列卷积，结果仍是它自己——冲激像"探针"一样把序列筛出来。

\(x(n) * \delta(n) = x(n)\) \(x(n) * \delta(n - n_{0}) = x(n - n_{0})\)

1.3.3 (2)(3)(4)

卷积的运算律

(2) 交换律

\(x(n) * h(n) = h(n) * x(n)\)

输入与冲激响应互换角色，结果不变。

(3) 分配律

\(x(n) * [h_{1}(n) + h_{2}(n)] = x(n)*h_{1}(n) + x(n)*h_{2}(n)\)

对应并联系统：先并联求和，再卷积 = 分别卷积后相加。

(4) 结合律

\(x(n)*h_{1}(n)*h_{2}(n) = x(n) * [h_{1}(n)*h_{2}(n)]\)

对应级联系统：两级串联可先合并成一个等效系统。

1.3.4

离散卷积的计算方法

1 图解法

反褶 → 平移 → 相乘 → 取和

2 公式法

直接用求和公式与序列的解析表达式计算。

3 不进位乘法

像做竖式乘法，但各位之间不进位，同列相加。

1.3.4 演示

卷积过程交互演示　x(n)*h(n)

n = 0 ｜反褶

y(0) = 1×1 = 1

1.3.4

如何理解卷积运算？

两种常见的错误学法

背公式："见果不见花" —— 不入门
只做几何图解：游离于表象，"旁门左道" —— 不正宗

正解：靠物理意义

卷积是为研究方便而引入的、对物理现象的描述。

必须抓住的两条主线

Ⅰ　LTI 系统的输入、输出的关系 —— 已知 h(n)，任意 x(n) 的响应都能算
Ⅱ　时域、频域中与乘法相对应的运算 —— 时域卷积 ⇔ 频域相乘（第 2 章）

1.3.4

例题卷积计算

题目

已知线性非移变系统的单位取样响应 h(n) = {1, 1, 1}（n = 0,1,2），输入 x(n) = {1, 2, 3}（n = 0,1,2），求输出 y(n)。

\(y(n) = \sum_{m = 0}^{2} x(m)\cdot h(n-m)\)

解（逐点计算）

\(y(0) = 1\times1 = 1\) \(y(1) = 1\times1+2\times1 = 3\) \(y(2) = 1\times1+2\times1+3\times1 = 6\) \(y(3) = 2\times1+3\times1 = 5\) \(y(4) = 3\times1 = 3\)

所以 y(n) = {1, 3, 6, 5, 3}，n = 0,1,2,3,4，长度 = 3+3−1 = 5 ✓

💡 校验技巧：卷积结果的总和 = 两序列总和之积 → (1+2+3)×(1+1+1) = 18；而 1+3+6+5+3 = 18 ✓

1.4

常系数线性差分方程

离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、乘系数和相加，其基本单元是延迟器、乘法器和加法器。

一般形式

\(\sum_{k = 0}^{N}\) \(a_{k}\) \(y\)(\(n\)−\(k\)) = \(\sum_{m = 0}^{M}\) \(b_{m}\) \(x\)(\(n\)−\(m\))，　\(a_{0}\) = 1

阶数

差分方程的阶数等于未知序列变量最高序号与最低序号之差。

例：y(n) − a·y(n−1) = x(n) 中，最高 n、最低 n−1，差为 1 → 一阶。

1.4

数字系统结构的表示

系统结构：系统的输入与输出的运算关系的表述方法。
可用差分方程、框图或流图表示。

基本运算包含：延迟运算、加法运算、乘法运算

直接得到系统结构（框图 / 流图）。但必须加上必要的初始条件，才能唯一确定输入输出关系。

⚠ 说明：差分方程可直接得到系统结构；必须加上必要的初始条件，才能唯一确定系统的输入和输出的关系。

1.4

求解常系数线性差分方程

（1）经典解法

齐次解 + 特解，再由初始条件定系数。
与微分方程的经典法完全类似。

（2）递推解法

把方程改写成 y(n) = 关于过去值的表达式，逐点递推。
最适合计算机实现。

（3）变换域方法

用 z 变换把差分方程化为代数方程求解。
第 2 章重点内容。

递推示例：y(n) = a·y(n−1) + x(n)

\(y(0) = a\cdot y(-1) + x(0)\) \(y(1) = a\cdot y(0) + x(1)\) \(y(2) = a\cdot y(1) + x(2)\) …

若系统初始松弛（y(−1) = 0），则得到的是零状态响应。

1.5.1

稳定系统

定义（BIBO 稳定）

只要输入是有界的，输出必定是有界的系统称为稳定系统。

Bounded-Input Bounded-Output

充分必要条件（LTI 系统）

稳定的充要条件是单位冲激响应绝对可和：

\(\sum_{n = -\infty}^{+\infty} |h(n)| < \infty\)

1.5.2

因果系统

定义

所谓因果系统，就是输出不能先于输入的系统。

n = n₀ 的输出 y(n₀) 只取决于 n ≤ n₀ 的输入。

充分必要条件（LTI 系统）

\(h\)(\(n\)) = 0，　\(n\) < 0

即冲激响应是因果序列（n < 0 时恒为 0）。

1.5

物理可实现系统

物理可实现系统＝稳定且因果的系统

稳定（Stability）

\(\sum_{n = -\infty}^{+\infty} |h(n)| < \infty\)

保证有界输入不会产生"爆炸"输出。

因果（Causality）

\(h\)(\(n\)) = 0，\(n\) < 0

保证系统能实时运行，不需要未来的数据。

小结

第1章核心回顾

序列

典型序列：δ(n)、u(n)、\(R_{N}\)(n)、aⁿu(n)、sin(ω₀n)、\(e^{j\omega₀n}\)
任意序列 = 加权延迟冲激之和
能量 E = Σ|x(n)|²
离散正弦不一定是周期的

LTI 与卷积

线性（均匀+叠加）＋时不变 = LTI
h(n) = T[δ(n)] 是系统的"指纹"
y(n) = x(n)*h(n) = Σ x(m)h(n−m)
长度 N+M−1；图解四步：反褶→平移→相乘→取和

差分方程

Σ\(a_{k}\)y(n−k) = Σ\(b_{m}\)x(n−m)，a₀=1
阶数 = 最高序号 − 最低序号
解法：经典法 / 递推法 / 变换域法

物理可实现

稳定：Σ|h(n)| < ∞
因果：h(n) = 0，n < 0
物理可实现 = 稳定且因果

🎯 一句话：把输入拆成冲激，每个冲激激起一个 h(n)，按时延加权、全部叠加 —— 这就是卷积，也是 LTI 系统全部行为的来源。

演示

卷积：滑动求和

y(k)=Σ x(m)·h(k−m)。下方 h 先反转再随 k 平移，与 x 重叠部分逐项相乘求和。

演示

差分方程递推求解

一阶 IIR：y(n)=a·y(n−1)+b·x(n)。逐步推进，演示延时单元 y(n−1) 如何参与当前输出。

a = 0.70

习题

本章习题

已知序列 \(x(n)=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0\sim 3\)），求 \(y(n)=x(n)+2x(n-1)\) 的前 4 点。
计算线性卷积 \(y(n)=x(n)*h(n)\)，其中 \(x(n)=\delta(n)+\delta(n-1)\)，\(h(n)=\{1,2,1\}\)。
判断系统 \(T[x(n)]=x(n)+x(n+1)\) 是否（a）线性（b）时不变（c）因果（d）稳定，并说明理由。

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离散时间信号与系统的时域分析

本章要掌握什么

本章知识结构

1.1 离散时间信号 — 序列

1.2 线性时不变系统

1.3 离散卷积

1.4 常系数线性差分方程

1.5 物理可实现系统

离散时间信号— 序列

(1) 连续时间信号

(2) 离散时间信号

(3) 数字信号

序列的基本运算（交互演示）

运算定义

单位冲激序列δ(n)

单位抽样序列（单位冲激）

单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列

矩形序列\(R_{N}\)(n)

矩形序列

三种序列的关系

可以互相表示

实指数序列\(a^{n}\)

|a| < 1 收敛

|a| > 1 发散

正弦序列与数字域频率

关键直觉

复指数序列\(e^{j\omega₀n}\)

σ = 0 → 纯振荡

σ ≠ 0 → 螺旋

序列的周期性

周期序列的定义

正弦序列的周期性（交互演示）

判据

任意序列的一般表示

用冲激序列"搭"出任意序列

序列的能量

定义

离散时间系统

线性系统

① 均匀性（齐次性）

② 叠加性（可加性）

时不变（非移变）系统

定义

线性时不变（LTI）系统

单位冲激响应 h(n)

定义

离散卷积的推导

① 由于系统是线性的

② 又由于系统是时不变的

③ 所以

卷积的物理意义与长度

结果长度

卷积的"筛选"特性

卷积的运算律

(2) 交换律

(3) 分配律

(4) 结合律

离散卷积的计算方法

1 图解法

2 公式法

3 不进位乘法

卷积过程交互演示 x(n)*h(n)

如何理解卷积运算？

两种常见的错误学法

正解：靠物理意义

必须抓住的两条主线

例题卷积计算

题目

解（逐点计算）

常系数线性差分方程

一般形式

阶数

数字系统结构的表示

求解常系数线性差分方程

（1）经典解法

（2）递推解法

（3）变换域方法

递推示例：y(n) = a·y(n−1) + x(n)

离散时间信号与系统
的时域分析

|a| < 1　收敛

|a| > 1　发散

卷积过程交互演示　x(n)*h(n)