Digital Spectrum Analysis · 确定性信号 · 随机信号 · 功率谱估计
用 FFT 在离散频点上估计信号频谱；对随机信号则用功率谱描述，并由此引出经典谱估计与现代谱估计。
已知精确表达式（如正弦、合成音）。用 FFT 估谱，但存在泄漏 / 栅栏 / 混叠三类误差。
只能用统计平均。由维纳-辛钦定理：功率谱 = 自相关函数的傅里叶变换。
周期图法方差大；Bartlett / Welch 用分段平均降低方差。
振动、语音、心电、雷达回波——频率结构比时域波形更易诊断故障与特征。
用 FFT 在通用处理器上快速估谱，分辨率、窗、平均均可灵活控制。
真实连续信号 \(x_{a}\)(t) 经抽样得 x(n)，再加窗截断为有限长 \(x_{N}\)(n)，对其做 N 点 DFT：
无限长 → 有限长（乘窗）→ 频谱泄漏
连续 → 离散（满足采样定理）→ 防混叠
频域只取 N 个样点 → 栅栏效应
| 误差 | 来源 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|---|
| 频谱泄漏 | 截断（加窗） | 频率扩散、旁瓣掩盖弱分量 | 选低旁瓣窗 |
| 栅栏效应 | DFT 频点离散 | 漏掉频点间真实峰 | 补零提高密度 |
| 混叠 | 抽样率不足 | 高频折回低频 | \(f_{s}\)>2\(f_{c}\) |
实线：加窗后 |X(ω)|；虚线：理想（无限长）谱。看旁瓣扩散。
同一信号：无补零（粗栅格）vs 补零（细栅格），峰位置更准。
防混叠
决定频率分辨率
要分辨 Δf 就得取足够长 T
起点 A、步长 W 任意，可在单位圆局部弧段做高密度谱分析，频率不必均匀。
窄带细化、非均匀频点、声纳/雷达局部观测；可用 FFT 快速实现。
随机信号无法写解析式，改用统计平均。核心是维纳-辛钦（Wiener-Khinchin）定理：
\(r_{xx}\)(\(m\)) = \(E\)[\(x\)(\(n\))\(x^{*}\)(\(n\)−\(m\))]
描述功率在频域的分布，非负、实、偶。
计算简单，但方差大、起伏剧烈（N 增大方差不减）。
先估 r(m) 再加窗再作 DTFT，等效于周期图加窗平滑。
把数据分 K 段，各算周期图再平均 → 方差降为 1/K。
分段允许重叠，段内加窗 → 比 Bartlett 更平滑、更常用。
红色=单段周期图（抖）；青色=平均后（稳）。K 越大越平滑。
只用极点，高分辨率、适合尖峰谱；Yule-Walker / Burg 法求解。
零极点联合建模，更通用但求解复杂。
MUSIC、ESPRIT 等超分辨方法，需多通道/阵列。
输入已知谱、测输出谱 → 反推系统
用圆周卷积+补零实现快速线性卷积（第3章）
FFT 估谱；警惕泄漏/栅栏/混叠三类误差；CZT 做局部细化。
维纳-辛钦：功率谱 = 自相关 DTFT；功率非负偶对称。
周期图方差大；Bartlett/Welch 分段平均降方差；现代法高分辨。