Finite Impulse Response · 线性相位 · 窗函数法 · 频率抽样法
本章聚焦有限长单位冲激响应滤波器的设计：为什么 FIR 能实现严格线性相位，以及如何由理想特性加窗得到实用滤波器。
为何 FIR 能严格线性相位？h(n) 需满足什么对称条件？四种情况各能做什么滤波器？
理想特性 \(h_{d}\)(n) 无限长，如何加窗截断成有限长？会产生什么代价（吉布斯）？
窗函数法（时域逼近）与频率抽样法（频域逼近）的差别与选型。
若系统相位 φ(ω) = −αω + β 是 ω 的线性函数，则称具有线性相位。频率响应可写为
β(ω)=−αω，相位仅原点偏移
β(ω)=−αω+π/2，恒定 90° 相移
幅度 H(ω) 关于 0、π 偶对称 → 各类滤波器均可设计
ω=π 时余弦因子为 0 → H(π)=0，不能做高通/带阻
ω=0、π 时 sin=0 → H=0；适合90° 相移器 / 微分器
ω=0 时 H=0 → 适合希尔伯特变换器，不宜做低通
| 情况 | 对称 | N | 低通 | 高通 | 带通 | 带阻 | 相移网络 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 偶 | 奇 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | — |
| 2 | 偶 | 偶 | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | — |
| 3 | 奇 | 奇 | ✗ | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| 4 | 奇 | 偶 | ✗ | ✓ | ✓ | ✗ | ✓ |
若 \(z_{k}\) 是零点，则 \(z_{k}^{*}\) 与 1/\(z_{k}^{*}\) 也是零点。
以 共轭成对出现（z=\(e^{j\theta}\)，\(e^{-j\theta}\)）。
图：单位圆上一对共轭零点 + 圆内/圆外共轭倒数两对零点，共 4 个一组。
上：h(n) 杆状图（偶/奇对称）；下：幅频 |H(ω)|。
给定理想频响 \(H_{d}\)(ω)，先求理想冲激响应 \(h_{d}\)(n)（无限长），再乘一个有限长窗 w(n) 截断：
窗谱 W(ω) 的主瓣决定过渡带宽，旁瓣造成波纹。
越宽 → 过渡带越宽，滤波越"软"。
越高 → 通带/阻带波纹越大，肩峰约 8.95%。
由指标定 ω\(_{c}\)、过渡带 Δω
求理想 \(h_{d}\)(n)
按 Δω 与阻带衰减选窗型定 N
h(n)=\(h_{d}\)(n)w(n)
检验 H(ω)，不满足则重选
主瓣最窄，旁瓣最高（−13dB）
Bartlett，过渡带较宽
−31dB，旁瓣抑制好
−41dB，最常用
−57dB，过渡带最宽
β 可调，逼近最优
| 窗型 | 主瓣宽度(×2π/N) | 旁瓣峰值(dB) | 最小阻带衰减(dB) |
|---|---|---|---|
| 矩形 | 2 | −13 | 21 |
| 三角 | 4 | −25 | 25 |
| 汉宁 | 4 | −31 | 44 |
| 汉明 | 4 | −41 | 53 |
| 布莱克曼 | 6 | −57 | 74 |
| 凯泽(β=7.8) | ≈5 | ≈−57 | ≈80 |
上：加窗后的 h(n)；下：实际幅频（看过渡带与肩峰波纹）。
上排：各窗时域 w(n)；下排：对应 |W(ω)| 对数幅谱（旁瓣高度一目了然）。
直接在 N 个等间隔频点规定理想频响 H(k)，再作 IDFT 得单位冲激响应：
频域严格插值通过这些样点，样点间由内插函数决定——过渡带为零点处易有起伏。
在通带/阻带边界插入过渡样点（权值优化）可显著改善阻带衰减。
| 对比项 | 窗函数法 | 频率抽样法 |
|---|---|---|
| 逼近域 | 时域乘窗 | 频域取样 + IDFT |
| 优点 | 设计简单、易理解 | 适合"频域指标"、可优化过渡点 |
| 缺点 | 过渡带/波纹需权衡 | 样点间起伏、边界易振荡 |
| 典型用途 | 通用低通/带通 | 特殊频响（多带、微分器） |
h(n) 偶/奇对称；四种情况决定可用滤波器类型。
理想 \(h_{d}\)(n) 加窗；吉布斯：N 只压过渡带不压波纹。
频域取样 H(k) → IDFT；可插过渡点优化。