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CHAPTER 5

数字滤波器概论

Digital Filter · Structures of IIR & FIR
课　程数字信号处理（DSP）
学　期2026 年 秋季学期
32 学时24 智能医学
学习要求

本章要掌握什么

  • （1）理解数字滤波器的基本原理；
  • （2）了解数字滤波器的分类；
  • （3）掌握 IIR 数字滤波器的结构；
  • （4）掌握 FIR 数字滤波器的结构。
💡 同一个系统函数 H(z)，可以有多种不同的实现结构。结构不同 → 运算量、存储量、对字长效应的敏感度都不同。
知识地图

本章知识结构

5.1 数字滤波器的基本原理

时域卷积 · z 域相乘 · 频域加权

5.2 数字滤波器的分类

FIR / IIR · 递归 / 非递归 · 低通 / 高通 / 带通

5.3 IIR 数字滤波器结构

直接 I 型 · 直接 II 型（正准型） · 级联型 · 并联型

5.4 FIR 数字滤波器结构

直接型（横向 / 抽头延时线）· 级联型 · 频率抽样型
本章回答一个问题：H(z) 算出来之后，究竟该用什么"电路/程序结构"去实现它？
5.1

数字滤波器的基本原理

数字滤波器：输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号中所含频率成分的相对比例，或滤除某些频率成分的器件。

时域

\(y(n) = x(n) * h(n)\)

z 域

\(Y(z) = H(z)\cdot X(z)\)

频域

\(Y(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega})\cdot X(e^{j\omega})\)

分解到幅度与相位

\(|Y(e^{j\omega})| = |H(e^{j\omega})| \cdot |X(e^{j\omega})|\) \(arg[Y] = arg[H] + arg[X]\)
滤波的本质：用 |H(\(e^{j\omega}\))| 给每个频率成分加权——要的就放大，不要的就压掉。
5.1 演示

滤波的实质：频谱相乘

滤波器类型
输入 = 3 个不同频率的正弦叠加。改变滤波器类型，观察输出波形与频谱如何被"整形"。
5.2（1）

FIR 与 IIR 数字滤波器

对比项IIR（无限长冲激响应）FIR（有限长冲激响应）
h(n)无限长有限长（0 ~ N−1）
H(z)有非零极点，分母阶数 ≥ 1除 z=0 外无极点，只有零点
结构递归型（有反馈）非递归型（无反馈）
稳定性需检验（极点须在单位圆内）永远稳定
相位一般非线性相位可做到严格线性相位
效率阶数低、运算量小要达到同样指标阶数高得多
💡 取舍口诀：要相位 → 选 FIR；要效率 → 选 IIR。（第 6、7 章分别讲它们的设计方法）
5.2（2）

递归型与非递归型

递归型（有反馈）

输出反馈回输入端参与运算，即 y(n) 的计算用到过去的 y(n−k)。
\(y(n) = \sum b_{m}x(n-m) + \sum a_{k}y(n-k)\)
对应 IIR；存在稳定性问题与极限环现象。

非递归型（无反馈）

输出只由当前与过去的输入决定，不曾用过去的 y。
\(y(n) = \sum h(k)x(n-k)\)
对应 FIR；永不振荡自激，天然稳定。
递归型（IIR） Σ z⁻¹ 反馈回路（用过去的 y） 非递归型（FIR） z⁻¹ z⁻¹ z⁻¹ Σ 抽头加权求和（只用过去的 x）
5.2（3）

低通 · 高通 · 带通 · 带阻

低通 Low-Pass ωc 保留低频 高通 High-Pass ωc 保留高频 带通 Band-Pass ω₁ ω₂ 保留中间频带 带阻 Band-Stop ω₁ ω₂ 挖掉中间频带 实际滤波器 ≠ 理想：通带 / 阻带之间一定有过渡带 通带 过渡带 阻带 δp：通带波纹　δs：阻带衰减 医学信号中的典型应用 低通：去高频噪声 / 抗混迭　高通：去基线漂移（心电） 带阻（陷波）：滤除 50 Hz 工频干扰
5.3

IIR 数字滤波器的结构

系统函数与差分方程

\( H(z) = \frac{\sum_{m=0}^{M} b_{m}z^{-m}}{1 - \sum_{k=1}^{N} a_{k}z^{-k}} \)
\( y(n) = \sum_{m=0}^{M} b_{m}x(n-m) + \sum_{k=1}^{N} a_{k}y(n-k) \)

三种基本结构

5.3.1 直接型
直接 I 型 / 直接 II 型（正准型）
5.3.2 级联型
二阶基本节相乘
5.3.3 并联型
部分分式展开后相加
5.3.1

IIR 直接 I 型

思路：两个网络级联

把 H(z) 拆成前向网络（分子，只含零点）与反馈网络（分母，只含极点）两部分级联：
\(H\)(\(z\)) = \(H_{1}\)(\(z\))·\(H_{2}\)(\(z\))　，　\(H_{1}\)=\(\sum b_{m}z^{-m}\)　，　\(H_{2}\)=1/(1−\(\sum a_{k}z^{-k}\))
先由 \(H_{1}\)(z) 实现零点，再由 \(H_{2}\)(z) 实现极点。
⚠ 代价
直接 I 型需要 M + N 个延迟单元（两条独立的延迟链），存储量大。
5.3.1 演示

直接 I 型 → 直接 II 型的演变

演变步骤
两个级联网络次序可交换（线性系统），交换后两条延迟链内容相同 → 可合并共用，延迟单元由 M+N 降到 max(M,N)。
5.3.1

直接 II 型（正准型）

★ 优点
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，今后经常采用这种结构。
对 N 阶滤波器（M = N），延迟单元由 2N 降为 N，节省一半存储器。

结构要点

  • 中间变量 w(n)：先做反馈部分 w(n) = x(n) + Σ\(a_{k}\)w(n−k)；
  • 再做前向部分 y(n) = Σ\(b_{m}\)w(n−m)；
  • 两条支路共用同一条 w 延迟链。
\(w\)(\(n\)) = \(x\)(\(n\)) + \(\sum_{k=1}^{N}\) \(a_{k}w\)(\(n\)−\(k\))　；　\(y\)(\(n\)) = \(\sum_{m=0}^{M}\) \(b_{m}w\)(\(n\)−\(m\))
5.3.1

直接 II 型的缺点

零、极点调整难

在直接型结构中，系数 \(a_{k}\)、\(b_{m}\) 与零极点位置之间没有一一对应关系：改一个系数会同时影响所有零极点。
▸ 具体表现
  • 极点密集时（如窄带滤波器），系数量化误差会让极点大幅漂移；
  • 严重的可能使极点跑出单位圆 → 系统失稳；
  • 字长效应（乘法舍入、溢出）敏感。
▸ 解决方向
改用级联型或并联型：把高阶系统拆成二阶基本节，每节只控制少数零极点，量化敏感度大幅降低。
5.3.2

IIR 级联型结构

分解思路

把 H(z) 的分子、分母多项式因式分解，写成若干个二阶基本节的乘积：
\( H(z) = A \cdot \sum_{k=1}^{L} \frac{\beta_{0k} + \beta_{1k}z^{-1} + \beta_{2k}z^{-2}}{1 - \alpha_{1k}z^{-1} - \alpha_{2k}z^{-2}} \)
每个 \(H_{k}\)(z) 称为一个二阶基本节（biquad），含一对零点和一对极点。
★ 为什么要配成二阶？
实系数系统的零点 / 极点要么是实数，要么成共轭对。把共轭对合成一个实系数的二阶节，就避免了复数运算。
5.3.2

合并共轭因子

若有共轭零点对 \(c_{k}\) 与 \(c_{k}^{*}\)，把它们合并：
\((1 - c_{k}z^{-1})(1 - c_{k}^{*}z^{-1}) = 1 - 2Re[c_{k}]z^{-1} + |c_{k}|^{2}z^{-2}\)
结果系数全为实数（因为 2Re[\(c_{k}\)] 与 |\(c_{k}\)|² 都是实数）。
同理，共轭极点对 \(d_{k}\) 与 \(d_{k}^{*}\) 合并为：
\((1 - d_{k}z^{-1})(1 - d_{k}^{*}z^{-1}) = 1 - 2Re[d_{k}]z^{-1} + |d_{k}|^{2}z^{-2}\)
若阶数为奇数，会剩下一个一阶实根节（可视为 β\(_{2k}\)=0、α\(_{2k}\)=0 的特例）。
5.3.2

级联型的实现与优点

每个二阶节都用直接 II 型结构的级联形式：
x(n) H₁(z) 二阶节 直接 II 型 H₂(z) 二阶节 直接 II 型 HL(z) 二阶节 × A（增益） y(n) ··· H(z) = A · H₁(z) · H₂(z) · … · HL(z)
★ 级联型的三大优点
① 每一级都可以单独调整零极点的位置而不影响其它零极点；
② 可以灵活调整二阶基本节的次序（配合不同的配对/排序策略以减小量化误差）；
③ 这是级联结构的常用形式。
5.3.3

IIR 并联型结构

分解思路

把 H(z) 做部分分式展开，写成若干个二阶节之和：
\( H(z) = C + \sum_{k=1}^{L} \frac{\beta_{0k} + \beta_{1k}z^{-1}}{1 - \alpha_{1k}z^{-1} - \alpha_{2k}z^{-2}} \)
C 为常数项（当 M ≥ N 时出现），其余为并联的二阶节。
★ 优点
  • 可单独调整每一对极点，互不影响；
  • 各支路运算误差互不影响，误差不会累积传递；
  • 可并行处理，速度快。
⚠ 缺点
并联型不能单独调整零点（零点是各支路相加后共同形成的），因此不适合需要精确控制零点的场合（如陷波器）。
5.3.3

IIR 系统的并联结构

x(n) H₁(z) 二阶节 H₂(z) 二阶节 HL(z) 二阶节 C（常数） + y(n) H(z) = C + H₁(z) + H₂(z) + … + HL(z)　（各支路并行，输出相加）
5.3

IIR 三种结构对比

结构形式优点缺点
直接 I 型前向 + 反馈两网络级联直观，直接对应差分方程需 M+N 个延迟单元，存储量大
直接 II 型交换次序后共用延迟链延迟单元最少（max(M,N)），最常用零极点调整难，字长效应敏感
级联型二阶基本节相乘可单独调零极点，次序灵活，误差小需做因式分解与零极点配对
并联型部分分式→二阶节相加可单独调极点，误差不累积，可并行不能单独调整零点
💡 工程选择：精度要求高 / 阶数高 → 级联型（首选）；追求最少存储 → 直接 II 型；需并行加速或只关心极点 → 并联型。
5.4

FIR 数字滤波器的系统函数

一般形式

\( H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n)z^{-n} \)
分母为 1（无反馈），除 z=0 处的 (N−1) 阶极点外没有其它极点。

对应差分方程

\( y(n) = \sum_{k=0}^{N-1} h(k)x(n-k) \)
即输出 = 当前与过去 N 个输入样点的加权和，本质上就是一个滑动的加权平均（卷积）。
5.4

FIR 滤波器的特点

核心特点

没有输出到输入间的反馈，不存在稳定性问题。
因为 H(z) 的极点只在 z = 0（在单位圆内），所以 FIR 系统必然因果稳定。
▸ 优势
  • 永远稳定，无需检验；
  • 可设计成严格线性相位（h(n) 对称）；
  • 无极限环振荡，字长效应小；
  • 可用 FFT 快速卷积实现。
▸ 代价
要达到与 IIR 相同的幅频指标，FIR 的阶数 N 要高得多（通常 5~10 倍），运算量与延迟都更大。
💡 差分方程形式：y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n−1) + … + h(N−1)x(n−N+1) —— 一个有限长卷积。
5.4.1

FIR 直接型（横向滤波器）

别名

直接型 FIR 又称 横向滤波器（Transversal Filter）或抽头延时线滤波器（Tapped Delay Line）。
结构：一条由 N−1 个延迟单元串成的延时线，每个抽头引出信号乘以对应系数 h(k)，最后相加输出。
▸ 资源开销
N−1 个延迟单元 + N 个乘法器 + N−1 个加法器。
▸ 线性相位时可省一半
若 h(n) 对称（h(n) = h(N−1−n)），可先相加再相乘，乘法器由 N 减为 约 N/2。
5.4.1 演示

抽头延时线工作过程

n = 0
每来一个新样点，数据整体右移一格，各抽头与系数 h(k) 相乘后求和 → 得到该时刻的 y(n)。
5.4.2

FIR 级联型

分解思路

把 H(z) 分解成实系数二阶因子的乘积（同样需要合并共轭零点对）：
\( H(z) = \sum_{k=1}^{L} (\beta_{0k} + \beta_{1k}z^{-1} + \beta_{2k}z^{-2}) \)
每个二阶节控制一对零点，可单独调整，互不影响。
★ 优点
零点调整方便，量化敏感度低；结构规整，适合级联实现。
⚠ 缺点
需做多项式因式分解；系数增多，乘法次数比直接型略多；且不再便于利用 h(n) 对称性省乘法。
5.4.2

FIR 快速卷积型

思路

FIR 的时域运算就是线性卷积 y(n) = x(n) * h(n)。利用第 4 章结论：补零到 L ≥ N₁+N₂−1 后，用 FFT 做。
\(y(n) = IFFT\{ FFT[x(n)] \cdot FFT[h(n)] \}\)
x(n) FFT h(n) h(n) 的 FFT 可预先算好保存 频域相乘 X·H IFFT y(n) 复杂度：O(N log N) < O(N²) N 较大时（N > 64）明显更快
💡 长序列用重叠相加法 / 重叠保留法分块处理（第 3、4 章），可实现实时 FIR 滤波。
5.4.3

FIR 频率抽样型

出发点

由第 3 章的内插公式：H(z) 可由其 N 个频域抽样值 H(k) = DFT[h(n)] 完全重建：
\( H(z) = \frac{1 - z^{-N}}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{H(k)}{1 - W_{N}^{-k}z^{-1}} \)

两部分级联

① 梳状滤波器
\(H_{c}(z) = 1 - z^{-N}\)
提供 N 个零点（单位圆上均匀分布的梳齿）。
② 谐振网络并联
\(\sum_{k=0}^{N-1} \frac{H(k)}{1 - W_{N}^{-k}z^{-1}}\)
每个一阶节在 z = \(W_{N}^{-k}\) 处有一个极点。
5.4.3

梳状滤波器的零点与频率特性

\(H_{c}\)(\(z\)) = 1 − \(z^{-N}\)　⇒　零点：\(z_{k}\) = \(e^{j\frac{2\pi}{N}k}\)，　\(k\)=0,…,\(N\)−1
N 个零点均匀分布在单位圆上（N 等分点）；幅频响应呈梳齿状，在这些频率处为 0。
N = 8 个零点在单位圆上均匀分布 零点 ○ |Hc(ejω)| = 2|sin(Nω/2)|　梳状幅频特性 0123 ω 每 2π/N 出现一次零点 → 共 N 个"梳齿"
5.4.3

谐振网络：极点与零点相消

极点分布

并联的第 k 个一阶节：分母为 1 − \(W_{N}^{-k}\)\(z^{-1}\)，故极点在 z = \(W_{N}^{-k}\) = \(e^{j2\pi k/N}\)。
这些极点恰好落在单位圆上，与梳状滤波器的零点位置完全相同。
★ 关键机制
它是 N 个极点的谐振网络。每个一阶谐振网络的一个极点同梳状滤波器的一个零点相抵消。
相消后，在该频点 ω\(_{k}\) 处的响应正好等于 H(k) —— 于是直接实现了"按频域抽样值设计滤波器"，这正是频率抽样型的价值。
零点（梳状）与极点（谐振）在单位圆上重合 → 相互抵消 k=012 3456 ○ 零点（梳状滤波器提供）　× 极点（谐振网络提供）→ 位置重合则相消
5.4.3

频率抽样结构的缺点与修正

主要缺点

  • ① 复数乘法运算较麻烦：H(k) 与 \(W_{N}^{-k}\) 一般都是复数，实现复杂、运算量大。
  • ② 可能出现零、极点不完全抵消，引起系统不稳定：极点在单位圆上，若系数量化导致零点与极点不精确重合，残留极点落在单位圆上（临界稳定）甚至圆外 → 失稳。

解决方法 ①：引入修正参数 r

把所有极点内缩到半径 r < 1 的圆上（r 略小于 1，如 r = 0.999），同时零点也相应调整：
\( H(z) \approx \frac{1 - r^{N}z^{-N}}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{H_{r}(k)}{1 - rW_{N}^{-k}z^{-1}} \)
这样极点全部严格在单位圆内 → 系统一定稳定，代价是频率响应有微小偏差（r→1 时偏差→0）。
5.4.3

解决方法 ②：利用对称性

利用实序列 DFT 的对称性质及极点的对称性

当 h(n) 为实序列时，其 DFT 满足共轭对称性：
\(H(N-k) = H^{*}(k)\)
而对应的极点 \(W_{N}^{-(N-k)}\) 与 \(W_{N}^{k}\) 也成共轭对。
★ 效果
把第 k 项与第 N−k 项合并成一个实系数的二阶节，于是：
① 复数乘法全部化为实系数运算；
② 谐振网络的个数减少近一半，结构与运算量都大幅简化。
第 \(k\) 对：\(\frac{\beta_{0k} + \beta_{1k}z^{-1}}{1 - 2rcos(\frac{2\pi k}{N})z^{-1} + r^{2}z^{-2}}\)
💡 频率抽样型的独特价值：H(k) 直接就是设计指标（想要的频响采样值），非常适合窄带、多频点滤波器；且便于用 FFT 实现。
小结

第5章核心回顾

原理与分类

  • |Y| = |H|·|X|：滤波 = 给各频率加权
  • IIR：有极点、递归、需验稳、效率高
  • FIR：无极点、非递归、永远稳定、可线性相位

IIR 结构

  • 直接 I 型：M+N 个延迟，直观但费存储
  • 直接 II 型：共用延迟链，最少延迟，最常用
  • 级联型：可单独调零极点（首选）
  • 并联型：可单独调极点，不能调零点

FIR 结构

  • 直接型 = 横向 / 抽头延时线滤波器
  • 级联型：二阶节控制一对零点
  • 快速卷积型：用 FFT 做线性卷积

频率抽样型

  • 由内插公式：H(z) = 梳状 × 谐振并联
  • 每个谐振极点与梳状零点相消
  • 缺点：复数运算、可能不完全相消失稳
  • 修正：引入 r<1 + 利用共轭对称合并
🎯 一句话：滤波器结构决定了算得快不快、存得多不多、稳不稳——同样的 H(z)，选对结构往往比设计本身更关键。
演示

滤波结构：级联型 vs 并联型

高阶系统可分解为二阶节。级联型各节串联；并联型各节并联后相加。两者等价但数值特性不同。
演示

系数量化效应

系数用有限位宽表示会使极点位置偏移；量化后若极点移出单位圆，系统就不稳定。拖动位数观察。
量化位数 b = 8
习题

本章习题

  • 画出 \(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\) 的直接 I 型结构流图。
  • 比较直接型、级联型与并联型结构的优缺点（各列举一点）。
  • 为什么级联型比直接型对系数舍入误差更不敏感？
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