CHAPTER 3

离散傅里叶级数
与离散傅里叶变换

DFS & DFT · Discrete Fourier Transform

课　程数字信号处理（DSP）

学　期2026 年秋季学期

32 学时24 智能医学

学习要求

本章要掌握什么

（1）掌握离散傅里叶级数（DFS）的定义、计算与性质；
（2）掌握离散傅里叶变换（DFT）的定义、计算与性质；
（3）理解离散傅里叶变换与其它变换之间的关系。

💡 DFT 是 DSP 最实用的工具：它把"连续频域"变成"离散频点"，让计算机能真正算出频谱。

知识地图

本章知识结构

3.1 离散傅里叶级数 DFS

定义 · X̃(k) 周期性 · 线性 / 位移 / 周期卷积

3.2 离散傅里叶变换 DFT

周期延拓 ((n))\(_{N}\) · DFT 定义 · 与 DFS 的"取主值"关系

3.3 DFT 的性质

线性 · 圆周位移 · 循环卷积 · 对称性 · 相关 · 帕塞瓦尔定理

3.4 DFT 与其他变换的关系

与 z 变换（单位圆 N 点采样）· 内插公式 · 表示 DTFT

3.5 线性卷积与线性相关的 DFT 算法

循环卷积快速计算 · 循环卷积 ≠ 线性卷积的混叠条件 · 重叠相加法 · 相关的快速计算

3.1

离散傅里叶级数 DFS

出发点

设 x̃(n) 是周期为 N 的周期序列，可以表示为 N 个正弦序列 / 复指数序列之和。

\(x̃\)(\(n\)) = \(\frac{1}{N}\) \(\sum_{k = 0}^{N-1}\) \(X̃\)(\(k\)) \(e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\)　　（1）

也就是说：周期序列 ↔ 有限个（N 个）谐波分量，频域也是离散的、周期的。

3.1.1

傅里叶级数的定义

离散傅里叶级数正变换（DFS）

\(X̃(k) = \sum_{n = 0}^{N-1} x̃(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = \sum_{n = 0}^{N-1} x̃(n) W_{N}^{kn}\)

记 \(W_{N}\) = \(e^{-j2\pi/N}\)，称为旋转因子（twiddle factor）。

离散傅里叶级数反变换（IDFS）

\(x̃(n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} X̃(k) W_{N}^{-kn}\)

💡 求和只在一个周期（N 点）内完成。正变换有系数 1，反变换有系数 1/N。

3.1.1

X̃(k) 的周期性

频域也是周期序列

\(X̃\)(\(k\) + \(N\)) = \(X̃\)(\(k\))，　周期为 \(N\)

因为 \(W_{N}^{(k+N)n}\) = \(W_{N}^{kn}\)·\(W_{N}^{Nn}\) = \(W_{N}^{kn}\)·\(e^{-j2\pi n}\) = \(W_{N}^{kn}\)。

▸ 含义

只有 N 个独立的谐波分量 X̃(0)…X̃(N−1)，其余全是重复。

▸ 与时域的对称

时域周期 N ⇒ 频域离散（间隔 2π/N）且周期 N；
二者都是"离散 + 周期"。

3.1.2 ①

DFS 性质：线性特性

设周期序列 x̃(n) 和 ỹ(n) 的周期都为 N，且

\(x̃\)(\(n\)) ↔ \(X̃\)(\(k\))，　\(ỹ\)(\(n\)) ↔ \(Ỹ\)(\(k\))

则有

\(a\cdot x̃(n) + b\cdotỹ(n) \leftrightarrow a\cdot X̃(k) + b\cdotỸ(k)\)

⚠ 前提条件

两个序列的周期必须相同（都是 N），否则不能直接这样相加——需要先通分到公共周期（最小公倍数）。

3.1.2 ②

DFS 性质：序列位移特性

设 x̃(n) ↔ X̃(k)

当 m 和 l 为任意整数时，则

\(x̃(n - m) \leftrightarrow W_{N}^{km} X̃(k)\) \(W_{N}^{-nl} x̃(n) \leftrightarrow X̃(k - l)\)

▸ 时域移位

时域右移 m 位 ⇒ 频域乘线性相位因子 \(W_{N}^{km}\) = \(e^{-j2\pi km/N}\)。

幅度谱不变，只相位改变 —— 与 z 变换的位移性质一致。

▸ 频域移位（对偶）

时域乘 \(W_{N}^{-nl}\) ⇒ 频域移位 l 位（调制 / 搬移）。

这就是通信中"频谱搬移"的数学基础。

3.1.2 ③

DFS 性质：周期卷积

设周期序列 x̃\(_{1}\)(n) 和 x̃\(_{2}\)(n) 的周期都为 N，有

\(x̃_{1}\)(\(n\)) ⊛ \(x̃_{2}\)(\(n\)) = \(\sum_{m = 0}^{N-1}\) \(x̃_{1}\)(\(m\))·\(x̃_{2}\)(\(n\)−\(m\))　↔　\(X̃_{1}\)(\(k\))·\(X̃_{2}\)(\(k\))

周期卷积满足交换律。

⚠ 与线性卷积的关键区别

求和仅在一个周期内完成称为周期卷积；而线性卷积在 −∞ ~ +∞ 求和。

结果：周期卷积的结果仍是周期为 N 的周期序列。

3.1.2 ④

频域周期卷积

时域相乘 ⇔ 频域周期卷积

\(x̃_{1}\)(\(n\))·\(x̃_{2}\)(\(n\))　↔　\(\frac{1}{N}\) \(X̃_{1}\)(\(k\)) ⊛ \(X̃_{2}\)(\(k\)) = \(\frac{1}{N}\) \(\sum_{l = 0}^{N-1}\) \(X̃_{1}\)(\(l\))·\(X̃_{2}\)(\(k\)−\(l\))

3.2

离散傅里叶变换 DFT

核心思想

将有限长序列 x(n)（0 ≤ n ≤ N−1）延拓成周期序列 x̃(n)，再取其 DFS 的主值区间，就得到 DFT。

这样就能用处理周期序列的方法来处理有限长序列。

3.2

周期延拓的数学表示

模运算记号 ((n))\(_{N}\)

符号 ((n))\(_{N}\) 表示 n 对模 N 的余数，即

\(n\) = \(mN\) + ((\(n\)))\(_{N}\)，　0 ≤ ((\(n\)))\(_{N}\) ≤ \(N\)−1

例：N=8 时，((10))\(_{8}\) = 2，((−1))\(_{8}\) = 7，((−3))\(_{8}\) = 5。

有限长序列 ↔ 周期序列

\(x̃(n) = x(((n))_{N})\) 同理　\(X̃\)(\(k\)) = \(X\)(((\(k\)))\(_{N}\))

即把有限长序列"首尾相接"地无限重复；反过来，周期序列乘矩形序列 \(R_{N}\)(n) 就取回主值。

💡 有了 ((n))\(_{N}\)，"绕回"这件事就有了严格的数学表达——后面圆周位移、循环卷积全靠它。

3.2

DFT 的定义

离散傅里叶变换（DFT）

\(X\)(\(k\)) = DFT[\(x\)(\(n\))] = \(\sum_{n = 0}^{N-1}\) \(x\)(\(n\)) \(W_{N}^{kn}\)，　\(k\) = 0,1,…,\(N\)−1

离散傅里叶反变换（IDFT）

\(x\)(\(n\)) = IDFT[\(X\)(\(k\))] = \(\frac{1}{N}\) \(\sum_{k = 0}^{N-1}\) \(X\)(\(k\)) \(W_{N}^{-kn}\)，　\(n\) = 0,1,…,\(N\)−1

★ 一般情况下

X(k) 与 x(n) 都是长度为 N 的有限长序列，二者一一对应（都只取主值区间的 N 个点）。

要注意：它们隐含着周期性——所有 DFT 运算本质上都在"圆环"上进行。

3.2

DFT 与 DFS 的关系

DFT 并不是新变换，它就是 DFS 取主值区间：

\(X(k) = X̃(k)\cdot R_{N}(k)\) \(x(n) = x̃(n)\cdot R_{N}(n)\)

_N DFS 截断 IDFT IDFT = IDFS + 取主值（反向路径）

3.3.1

DFT 性质：线性特性

若 \(x_{1}\)(\(n\)) ↔ \(X_{1}\)(\(k\))，\(x_{2}\)(\(n\)) ↔ \(X_{2}\)(\(k\))，则 \(ax_{1}(n) + bx_{2}(n) \leftrightarrow aX_{1}(k) + bX_{2}(k)\)

长度不一致时怎么办？

如果 \(x_{1}\)(n) 长为 \(N_{1}\)，\(x_{2}\)(n) 长为 \(N_{2}\)，则 y(n) 长为 N = max[\(N_{1}\), \(N_{2}\)]。

设 \(N_{1}\) < \(N_{2}\)，则 \(X_{1}\)(k) 是 \(x_{1}\)(n) 补 \(N_{2}\)−\(N_{1}\) 个零后的离散傅里叶变换。

⚠ 关键提醒

补零改变了 DFT 的点数 N，因此\(X_{1}\)(k) 的取值会变——两个序列必须先补到同一长度 N，再各自做 N 点 DFT，线性性质才成立。

3.3.2 演示

圆周位移（循环移位）

位移量 m m = 0

圆周位移：移出右端的数据从左边绕回来（长度恒为 N）；　线性位移：移出后补零，长度变长。

3.3.2 ②

圆周位移定理

1. 圆周位移定义

有限长序列 x(n) 的圆周位移定义为

\(x_{m}(n) = x(((n - m))_{N})\cdot R_{N}(n)\)

先周期延拓 → 平移 m 位 → 再取主值。结果长度仍为 N。

2. 圆周位移定理

若 x(n) ↔ X(k)，则它的离散傅里叶变换为

\(x_{m}\)(\(n\)) = \(x\)(((\(n\)−\(m\)))\(_{N}\))\(R_{N}\)(\(n\))　↔　\(W_{N}^{km}\) \(X\)(\(k\))

同理（频域位移）：\(W_{N}^{-nl}\)x(n) ↔ X(((k−l))\(_{N}\))\(R_{N}\)(k)。

💡 时域圆周移位只给频谱加一个线性相位 \(W_{N}^{km}\)，幅度谱不变。这也是"时移不影响能量分布"的体现。

3.3.3 ①

循环（圆周）卷积

定义

令两个长度均为 N 的有限长序列 \(x_{1}\)(n)、\(x_{2}\)(n)，其循环卷积定义为

\(y(n) = \sum_{m = 0}^{N-1} x_{1}(m)\cdot x_{2}(((n-m))_{N})\cdot R_{N}(n) = x_{1}(n) ⊛ x_{2}(n)\)

记作 ⊛（或 ⊗），求和只在一个周期内，结果长度仍为 N。

▸ 与线性卷积的区别

线性卷积：求和范围 −∞~+∞，结果长 \(N_{1}\)+\(N_{2}\)−1。

循环卷积：求和 0~N−1，结果长 N。

⚠ 计算前提

两序列必须等长 N（短的先补零）。

计算时把其中一个圆周反褶再圆周移位，与线性卷积的"反褶、平移、相乘、取和"四步类似。

3.3.3 ②

循环卷积定理

若 \(x_{1}\)(n) ↔ \(X_{1}\)(k)，\(x_{2}\)(n) ↔ \(X_{2}\)(k)（均为 N 点 DFT），则

\(y\)(\(n\)) = \(x_{1}\)(\(n\)) ⊛ \(x_{2}\)(\(n\))　↔　\(Y\)(\(k\)) = \(X_{1}\)(\(k\))·\(X_{2}\)(\(k\))

时域循环卷积 ⇔ 频域直接相乘——这是用 DFT 做快速卷积的理论基石。

或（对偶形式）

\(x_{1}\)(\(n\))·\(x_{2}\)(\(n\))　↔　\(\frac{1}{N}\) \(X_{1}\)(\(k\)) ⊛ \(X_{2}\)(\(k\))

3.3.3 ③

频域循环卷积

同样（由对偶性），若两个频域序列做循环卷积，则对应时域相乘：

\(x_{1}\)(\(n\))·\(x_{2}\)(\(n\))　↔　\(\frac{1}{N}\) \(X_{1}\)(\(k\)) ⊛ \(X_{2}\)(\(k\))

★ 对称关系一览

时域循环卷积 ⇔ 频域相乘　　｜　　时域相乘 ⇔ 频域循环卷积 ÷ N

注意系数 1/N 的位置，与 DFS 中的形式保持一致。

💡 这条性质解释了加窗（时域乘窗函数）为什么会造成频谱卷积、产生泄漏——第 8 章数字谱分析会详细讲。

3.3.4 ①

DFT 的对称性

特性 1

将 X(k) 分解为实部与虚部：

\(X(k) = X_{R}(k) + jX_{I}(k)\)

\(X_{R}\)(k) 是关于 k 的偶函数

\(X_{I}\)(k) 是关于 k 的奇函数

即 \(X_{R}\)(k) = \(X_{R}\)(N−k)，\(X_{I}\)(k) = −\(X_{I}\)(N−k)。

同理，将 X(k) 写成极坐标形式：

|\(X\)(\(k\))|　关于 \(k\) 偶对称 arg[\(X\)(\(k\))]　关于 \(k\) 奇对称

3.3.4 ②

奇偶虚实对称性

特性 2

对实序列 x(n)，其 DFT 满足共轭对称性：

\(X(k) = X^{*}(((N - k))_{N})\cdot R_{N}(k)\)

这意味着（或）：

\(X(N-k) = X^{*}(k)\) \(\Rightarrow |X(N-k)| = |X(k)|\)

★ 工程价值

实序列的 N 点 DFT，只有前 N/2 个频点是独立的（后一半是共轭镜像）。
所以画频谱时通常只画 0 ~ π 这一段，计算量也能省一半。

3.3.4

表 3-1　DFT 的奇偶虚实特性

x(n)（时域）	X(k)（频域）
实函数	实部为偶、虚部为奇
实偶函数	实偶函数
实奇函数	虚奇函数
虚函数	实部为奇、虚部为偶
虚偶函数	虚偶函数
虚奇函数	实奇函数

★ 记忆口诀

"实偶 → 实偶，实奇 → 虚奇"：时域的偶性保持为频域的偶性；时域的奇性在频域变成虚奇（乘了个 j）。

最常用的是第一行：实序列 → 实部偶、虚部奇（即共轭对称）。

3.3.5 ①

离散（线性）相关函数

对于离散序列 \(x_{1}\)(n) 和 \(x_{2}\)(n)，则离散相关定义为

\(r_{12}(m) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x_{1}(n)\cdot x_{2}^{*}(n - m)\)

与卷积的关系

相关 = 卷积，只是不反褶（且取共轭）：

\(r_{12}(m) = x_{1}(m) * x_{2}^{*}(-m)\)

用途

自相关（\(x_{1}\)=\(x_{2}\)）：检测周期性、估计功率谱。
互相关：测量时间延迟、模板匹配（如雷达测距、回声消除）。

3.3.5 ②

循环（圆周）相关

设 \(x_{1}\)(n) 和 \(x_{2}\)(n) 都是长度为 N 的有限长实序列，则循环相关定义为

\(r̃_{12}(m) = \sum_{n = 0}^{N-1} x_{1}(n)\cdot x_{2}(((n - m))_{N})\cdot R_{N}(m)\)

同样只在一个周期内求和，结果仍是长度 N 的有限长序列。

循环相关定理

\(r̃_{12}\)(\(m\))　↔　\(X_{1}\)(\(k\))·\(X_{2}^{*}\)(\(k\))

即：相关 ⇔ 频域共轭相乘（注意取共轭，与卷积的 \(X_{1}\)\(X_{2}\) 差一个共轭）。

3.3.6

DFT 形式下的帕塞瓦尔定理

已知长为 N 的序列 x(n)，X(k) = DFT[x(n)]，则

\(\sum_{n = 0}^{N-1} |x(n)|^{2} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} |X(k)|^{2}\)

如果 x(n) 为实序列，则还可写成更简洁的形式（利用共轭对称性）。

★ 物理意义

时域能量 = 频域能量（差一个 1/N 因子）。

这说明 DFT 是一个正交变换（只旋转、不缩放能量），信息既不丢失也不增加。

3.4 ①

DFT 与z 变换的关系

核心结论

DFT 就是 z 变换在单位圆上的 N 点等间隔采样：

\(X(k) = X(z)|_{z = W_{N}^{-k} = e^{j2\pi k/N}} = X(e^{j\omega})|_{\omega = 2\pi k/N}\)

3.4 ②

z 变换的内插公式

既然 X(k) 是 X(z) 在单位圆上的 N 个采样点，那么能否由 X(k) 恢复出整个 X(z)？可以——用内插：

\(X\)(\(z\)) = \(\sum_{k = 0}^{N-1}\) \(X\)(\(k\))·\(\Phi_{k}\)(\(z\))，　\(\Phi_{k}\)(\(z\)) = \(\frac{1}{N}\)·\(\frac{1 - z^{-N}}{1 - W_{N}^{k}z^{-1}}\)

Φ\(_{k}\)(z) 称为内插函数：它在 z = \(W_{N}^{-k}\) 处取 1，在其他采样点处取 0。

★ 意义

N 个离散频点 X(k) 完整地代表了整个 X(z)（前提是 x(n) 长度 ≤ N）。
这就是"频域采样不丢失信息"的数学保证，也是 频域采样定理 的核心。

3.4 ③

用 DFT 表示序列傅里叶变换

同理，连续的 X(\(e^{j\omega}\)) 也可以由 N 个 X(k) 内插得到：

\(X(e^{j\omega}) = \sum_{k = 0}^{N-1} X(k)\cdot\Phi_{k}(\omega)\)

其中 Φ\(_{k}\)(ω) 是频域内插函数（Dirichlet 核的形式）。

实际含义

我们做 N 点 DFT 得到的 X(k)，只是真实连续频谱 X(\(e^{j\omega}\)) 的N 个采样点。

采样点之间的细节 DFT 看不见——这就是栅栏效应；补零可以增加采样密度，让曲线更光滑（但不提高真正的频率分辨率）。

⚠ 补零 ≠ 提高分辨率：补零只是把内插曲线画得更密，真正的分辨率由实际数据长度决定（第 8 章详述）。

3.5.1 ①

循环卷积的快速计算

思路

利用循环卷积定理，把时域的循环卷积转成频域相乘，再用 IDFT 变回来：

\(y(n) = x_{1}(n) ⊛ x_{2}(n) = IDFT[X_{1}(k)\cdot X_{2}(k)]\)

3.5.1 演示

循环卷积与线性卷积的关系

DFT 长度 L L = 6 无混叠 ✓ 等于线性卷积

判据：当 L ≥ \(N_{1}\) + \(N_{2}\) − 1 时，L 点循环卷积 = 线性卷积；否则尾部绕回前端造成时域混叠。

3.5.1 ③

线性卷积的快速计算

目标：y(n) = x(n) * h(n)

既然循环卷积可以用 DFT 快速算，而"补够零后循环卷积 = 线性卷积"，于是得到步骤：

① 取 L ≥ \(N_{1}\) + \(N_{2}\) − 1（通常取 2 的整数次幂，便于 FFT）；
② 把 x(n)、h(n) 都补零到 L 点；
③ 分别做 L 点 DFT（FFT）→ X(k)、H(k)；
④ 频域相乘 Y(k) = X(k)·H(k)；
⑤ 做 L 点 IDFT（IFFT）→ 得到 y(n)。

★ 关键在第 ① 步

补零长度必须 ≥ \(N_{1}\)+\(N_{2}\)−1，这是避免混叠的硬性条件。忘了补零是最常见的错误。

3.5.1 ④

重叠相加法

要解决的问题

设 x(n)、h(n) 均为因果序列，h(n) 长 N，x(n) 长 \(N_{1}\)，且 \(N_{1}\) >> N。

若直接补零到 \(N_{1}\)+N−1 点做 DFT，运算量太大且需要全部数据到齐（无法实时处理）。

做法

将 x(n) 分为 M 段（p 段），每小段长与 h(n) 接近，将 x(n) 的每小段与 h(n) 进行卷积，最后取和。

由于每段卷积结果长度为（段长 + N − 1），相邻两段有 N−1 点重叠，重叠部分要相加——故名"重叠相加法"（Overlap-Add）。

3.5.1 ④

重叠相加法示意

3.5.1 ⑤

重叠相加法的快速算法

步骤

① 选定分段长度 L，取 DFT 长度 M = L + N − 1（再向上取到 2 的幂）；
② 预先算好 H(k) = DFT[h(n)]（M 点，h 后面补零）——只需算一次；
③ 对每一段 \(x_{i}\)(n)：补零到 M 点 → FFT → 乘 H(k) → IFFT，得 \(y_{i}\)(n)；
④ 把各段 \(y_{i}\)(n) 按顺序摆放，重叠的 N−1 点相加。

★ 为什么这样做划算

每段只需 O(M log M)，而整段直接卷积要 O(\(N_{1}\)·N)。当 \(N_{1}\) 很大时，分段 + FFT 明显更快，而且可以边收数据边处理（实时流式）。

3.5.2 ①

循环相关的快速计算

1. 循环相关的快速计算

利用循环相关定理 r̃\(_{12}\)(m) ↔ \(X_{1}\)(k)·\(X_{2}^{*}\)(k)：

\(r̃_{12}(m) = IDFT[X_{1}(k)\cdot X_{2}^{*}(k)]\)

与循环卷积的唯一区别：第二个因子取共轭（因为相关不反褶，改由共轭来体现）。

⚠ 别记混

卷积 → \(X_{1}\)(k)·\(X_{2}\)(k)　｜　相关 → \(X_{1}\)(k)·\(X_{2}^{*}\)(k)

3.5.2 ②

线性相关的快速计算

与循环卷积计算线性卷积类似，当 \(x_{1}\)(n) 和 \(x_{2}\)(n) 长度分别为 N、M 时，将其补零延长，使得

\(L \ge N + M - 1\)

此时 L 点循环相关就等于线性相关，于是可用 DFT 快速计算。

线性相关快速算法步骤

① 取 L ≥ N + M − 1（通常取 2 的幂）；
② \(x_{1}\)(n)、\(x_{2}\)(n) 各自补零到 L 点；
③ 做 L 点 DFT → \(X_{1}\)(k)、\(X_{2}\)(k)；
④ 计算 R(k) = \(X_{1}\)(k)·\(X_{2}^{*}\)(k)；
⑤ 做 L 点 IDFT → \(r_{12}\)(m)（注意结果的下标平移：m<0 的部分在末尾）。

💡 相关结果含负延迟，IDFT 后下标 0…L−1 对应 m = 0…L/2−1 与 m = −L/2…−1，需要"圆周展开"（fftshift 思想）。

小结

第3章核心回顾

DFS 与 DFT

DFS：周期序列 ↔ N 个谐波，X̃(k) 周期 N
DFT = DFS 取主值；((n))\(_{N}\) 表示模 N 余数
X(k) = Σ x(n)\(W_{N}^{kn}\)，\(W_{N}\) = \(e^{-j2\pi/N}\)

DFT 性质

线性（先补到同长）· 圆周位移 · 循环卷积
实序列：实部偶、虚部奇（共轭对称）
帕塞瓦尔：时域能量 = 频域能量 / N

与其他变换

DFT = z 变换在单位圆上的 N 点采样
内插公式可由 X(k) 恢复 X(z)、X(\(e^{j\omega}\))
采样点之间的细节看不见 → 栅栏效应

快速算法

循环卷积 = IDFT[X₁(k)·X₂(k)]
补零到 L ≥ N₁+N₂−1 才等于线性卷积
长序列 → 重叠相加法分块处理
相关：X₁(k)·X₂\(^{*}\)(k)（多一个共轭）

🎯 一句话：DFT 把"连续频谱"离散成 N 个频点，让计算机能算；所有 DFT 运算都隐含周期性——所以才有了圆周位移、循环卷积，以及"必须补够零"这条铁律。

演示

频谱泄漏与加窗

非整周期采样时 DFT 发生泄漏。加汉宁窗可抑制旁瓣但加宽主瓣。改变点数 N 看栅栏效应。

N = 32

演示

DFT = DTFT 的频域采样

DFT 就是 DTFT 在 ω=2πk/N 处的等间隔采样。N 越大，采样越密，越逼近连续谱。

N = 8

习题

本章习题

对 \(x(n)=\{1,2,3,4\}\) 计算 4 点 DFT \(X(k)=\sum_{n=0}^{3}x(n)W_{4}^{kn}\)，其中 \(W_{4}=e^{-j2\pi/4}\)。
说明 DFT 与 DTFT 的关系，并指出 DFT 的“隐含周期性”含义。
基-2 FFT 的复乘次数约为多少？相比直接 DFT 的 \(N^{2}\) 降低了多少？